حساب المسافة بين دائرة ونقطة (مسألة رياضيات)

نريد حساب المسافة بين مركز الدائرة الموصوفة بالمعادلة $x^2 + y^2 = 2x + 4y – 1$ والنقطة (13، 7).

لحساب مركز الدائرة، نقوم بتكميل المربع للمعادلة المعطاة. نقوم بإضافة نفس القيمة إلى كلا الجانبين لاستكمال المربع. نحصل على:

$(x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) = -1 + 1 + 4$

وبتبسيطها نحصل على:

$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 4$

هذه المعادلة توضح لنا أن مركز الدائرة هو النقطة (1، 2)، حيث أن قيم $h$ و $k$ في معادلة دائرة الشكل القياسي $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ تعبر عن إحداثيات مركز الدائرة.

الآن، نحتاج إلى حساب المسافة بين هذا المركز والنقطة (13، 7) باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء. المعادلة تكون كالتالي:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $d$ هي المسافة، و $(x_1، y_1)$ هي إحداثيات مركز الدائرة و $(x_2، y_2)$ هي إحداثيات النقطة (13، 7).

بالتعويض، نحصل على:

$d = \sqrt{(13 – 1)^2 + (7 – 2)^2}$

ومن ثم:

$d = \sqrt{144 + 25}$

وأخيراً:

$d = \sqrt{169}$

إذاً، المسافة بين مركز الدائرة والنقطة (13، 7) تكون 13 وحدة.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم المسافة بين نقطتين في الفضاء ومعادلة دائرة في الفضاء.

المعادلة الأولى التي نبدأ بها هي معادلة الدائرة المعطاة:

$x^2 + y^2 = 2x + 4y – 1$

نقوم بتكميل المربع لاستكمال المربع على الجهتين اليمنى واليسرى من المعادلة:

$(x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) = -1 + 1 + 4$

وبتبسيطها، نحصل على:

$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 4$

هذه المعادلة توضح لنا أن مركز الدائرة هو النقطة (1، 2) ونصف قطر الدائرة هو 2.

المعادلة الثانية هي معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $(x_1، y_1)$ هي إحداثيات مركز الدائرة و $(x_2، y_2)$ هي إحداثيات النقطة (13، 7). نقوم بتعويض القيم:

$d = \sqrt{(13 – 1)^2 + (7 – 2)^2}$

ومن ثم:

$d = \sqrt{144 + 25}$

وأخيراً:

$d = \sqrt{169}$

وبما أن الجذر التربيعي لـ169 هو 13، فإن المسافة بين مركز الدائرة والنقطة (13، 7) تكون 13 وحدة.

القوانين المستخدمة هي:

1. معادلة دائرة في الفضاء: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h، k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة و$r$ هو نصف قطر الدائرة.
2. معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء: $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$ حيث $(x_1، y_1)$ و$(x_2، y_2)$ هي إحداثيات النقطتين و$d$ هو المسافة بينهما.