حساب المسافة بين بؤر القطع الناقص: الحل والتطبيقات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نبحث عن المسافة بين بؤر القطع الناقص للقطع المخروطية المستوية التي يعطيها المعادلة التالية:
$\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{4} = X$

الحل:

للعثور على المسافة بين بؤر القطع الناقص، يجب أولاً تحديد قيمة المتغير المجهول $X$.

للقطع المخروطية المستوية، المعادلة العامة تعطى بواسطة:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

حيث $a$ و $b$ هما أطوال نصف المحور الرئيسي والفرعي على التوالي.

في هذه المعادلة، نرى أن $a^2 = 20$ و $b^2 = 4$. وبالتالي، نعرف أن قيمة $a$ هي $\sqrt{20}$ وقيمة $b$ هي $\sqrt{4}$ أو 2.

الآن، المسافة بين بؤر القطع الناقص تعطى بالصيغة التالية:
$d = 2\sqrt{a^2 – b^2}$

نستخدم قيم $a$ و $b$ التي حصلنا عليها:
$d = 2\sqrt{(\sqrt{20})^2 – (\sqrt{4})^2}$
$d = 2\sqrt{20 – 4}$
$d = 2\sqrt{16}$
$d = 2 \times 4$
$d = 8$

لكن الإجابة المعطاة في المسألة هي $8\sqrt{7}$، وليست $8$.

بما أننا نعرف أن $d = 8\sqrt{7}$، فإننا نعادلها مع القيمة التي حصلنا عليها ونحصل على المعادلة التالية:
$8\sqrt{7} = 8$

هذا يعني أن القيمة المجهولة $X$ تكون تحت الجذر في المعادلة الأولى هي 7.

إذاً، القيمة المجهولة $X = 7$.

لحل المسألة المتعلقة بالعثور على المسافة بين بؤر القطع الناقص للقطع المخروطية المستوية، يمكننا القيام بالخطوات التالية باستخدام مفهوم القطع المخروطي الأفقي:

1. معرفة المعادلة العامة للقطع المخروطي:
   القطع المخروطي الأفقي يمكن تمثيله بالمعادلة:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
   حيث $a$ و $b$ هما أطوال نصف المحور الرئيسي والفرعي على التوالي.

2. تحديد قيم $a$ و $b$:
   في المسألة المعطاة، نعرف أن $a^2 = 20$ و $b^2 = 4$.

3. حساب المسافة بين بؤر القطع الناقص:
   المسافة بين بؤر القطع الناقص تُحسب باستخدام الصيغة:
   $d = 2\sqrt{a^2 – b^2}$

4. تطبيق القوانين الرياضية:

   • نستخدم قاعدة الجذر لحساب المسافة بين النقطتين.
   • نستخدم خواص الأعداد لحساب الجذور والقيم الرقمية.

5. التحقق من الإجابة:
   بمجرد حساب المسافة بين بؤر القطع الناقص، يتم مقارنتها بالإجابة المعطاة في المسألة للتحقق من صحة الحسابات.

من خلال تطبيق هذه الخطوات، يمكننا العثور على القيمة المطلوبة للمتغير $X$ والتي تؤدي إلى المسافة بين بؤر القطع الناقص.