حساب المسافة بتأثير الفرامل (مسألة رياضيات)

عند تطبيق الفرامل على السيارة، تقطع المسافة بنقصان 7 أقدام في كل ثانية مقارنة بالثانية السابقة حتى تتوقف تمامًا. تقطع السيارة 28 قدمًا في الثانية الأولى بعد تشغيل الفرامل. ما هي المسافة التي تقطعها السيارة من وقت تشغيل الفرامل حتى تتوقف السيارة؟

لنقم بحساب المسافة الكلية التي تقطعها السيارة. في الثانية الأولى تقطع 28 قدمًا، وفي الثانية الثانية تقطع 28 – 7 = 21 قدمًا، وفي الثانية الثالثة تقطع 21 – 7 = 14 قدمًا، وهكذا.

نستخدم تسلسل الأعداد الناتجة عن تقليل 7 في كل مرة لحساب المسافة الإجمالية. يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$S_n = 28 + (28 – 7) + (28 – 2 \times 7) + \ldots + 0$

حيث $S_n$ هو المسافة الإجمالية التي تقطعها السيارة بعد الثانية $n$. لحساب هذا، يمكننا استخدام صيغة المجموع الجملي:

$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$

حيث $a_1$ هو المصطلح الأول في المتسلسلة (28)، $a_n$ هو المصطلح الأخير في المتسلسلة (0)، و $n$ هو عدد الأعداد في المتسلسلة.

نعوض في المعادلة:

$S_n = \frac{n}{2} \times (28 + 0)$

ونعلم أن السيارة تتوقف عندما تكون المسافة المقطوعة في الثانية $n$ هي 0، لذا نقوم بحساب عدد الأعداد في المتسلسلة:

$0 = 28 – 7 \times (n – 1)$

من هذه المعادلة، نحسب قيمة $n$ التي تمثل الوقت اللازم لتوقف السيارة.

$7 \times (n – 1) = 28$

$n – 1 = \frac{28}{7}$

$n = 5$

إذًا، السيارة ستتوقف بعد 5 ثوانٍ. الآن نستخدم هذا القيمة لحساب المسافة الإجمالية:

$S_5 = \frac{5}{2} \times (28 + 0)$

$S_5 = \frac{5}{2} \times 28$

$S_5 = 70$

إذاً، المسافة الكلية التي تقطعها السيارة من وقت تشغيل الفرامل حتى تتوقف هي 70 قدمًا.

بالتأكيد، دعونا نقم بحساب المسافة الكلية التي تقطعها السيارة ونوضح القوانين المستخدمة في الحل.

لنبدأ بحساب المسافة الكلية $S_n$، حيث $S_n$ هي المسافة التي تقطعها السيارة في الثواني الأولى $n$. استخدمنا القاعدة العامة لحساب المجموع:

$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$

حيث:

• $n$ هو عدد الأعداد في المتسلسلة.
• $a_1$ هو المصطلح الأول في المتسلسلة.
• $a_n$ هو المصطلح الأخير في المتسلسلة.

في هذه المسألة:

• $a_1 = 28$ قدم (المسافة في الثانية الأولى).
• $a_n = 0$ قدم (حينما تتوقف السيارة).
• نعلم أن $S_n = 70$ قدمًا (المسافة الكلية التي تقطعها السيارة).

نستخدم القانون للحصول على قيمة $n$، أي عدد الثواني التي تستغرقها السيارة للتوقف. للقيام بذلك، نستخدم القانون:

$n = \frac{a_n – a_1}{-d} + 1$

حيث:

• $d$ هو الانخفاض في المسافة بين الثواني المتتالية (في هذه الحالة، $d = 7$ قدم).

نعوض القيم المعروفة:

$n = \frac{0 – 28}{-7} + 1$

$n = 5$

إذًا، تحتاج السيارة إلى 5 ثوانٍ لتتوقف تمامًا. الآن نستخدم هذه القيمة لحساب المسافة الكلية:

$S_5 = \frac{5}{2} \times (28 + 0)$

$S_5 = \frac{5}{2} \times 28$

$S_5 = 70$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة حساب المجموع الجملي.
2. القانون الفيزيائي للتسارع والحركة المتسارعة، حيث يرتبط تغيير المسافة بتغيير الزمن والتسارع.