حساب المسافات والاحتمالات: حل مسألة المدن (مسألة رياضيات)

المسافة الجوية بين المدن المختارة:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& بانكوك & كيب تاون & هونولولو & لندن \ \hline
بانكوك & & 6300 & X & 5944 \ \hline
كيب تاون & 6300 & & 11,535 & 5989 \ \hline
هونولولو & 6609 & 11,535 & & 7240 \ \hline
لندن & 5944 & 5989 & 7240 & \ \hline
\end{tabular}

لحساب المسافة بين بانكوك وهونولولو، يجب أن نجمع المسافة بين بانكوك وكيب تاون، ثم المسافة بين كيب تاون وهونولولو.

$\text{مسافة بانكوك إلى هونولولو} = 6300 + 11,535 = 17,835$

وهو مختلف عن المسافة المعروضة (6609). لذا، خطأ في البيانات المعطاة.

للتحقق من صحة المعطيات، يمكننا استخدام قانون الجيوبوليس للمثلثات في المثلث بانكوك-كيب تاون-هونولولو.

قانون الجيوبوليس يقول: في مثلث، مربع الضلع المفقود يساوي مجموع مربعات الضلوع المعروفة ناقص ضربين من الضلوع المعروفة مضروبة بجيوب الزاويتين بين الضلوع المعروفة.

فلنحسب المسافة بين بانكوك وهونولولو باستخدام هذا القانون:

$\text{مسافة بانكوك إلى هونولولو} = \sqrt{6300^2 + 11,535^2 – 2 \times 6300 \times 11,535 \times \cos(\angle B)}$

حيث أن $\angle B$ هو زاوية بين المسافة بانكوك-كيب تاون والمسافة كيب تاون-هونولولو.

نحتاج إلى قيمة $\cos(\angle B)$. باستخدام قانون السينات، يمكننا حسابها:

$\cos(\angle B) = \frac{{a^2 + c^2 – b^2}}{{2ac}}$

حيث أن $a$ و $b$ و $c$ هي طول الضلوع في المثلث. في هذه الحالة، $a = 6300$، $b = 11,535$، و $c = 6609$.

بعد الحساب، نجد $\cos(\angle B) \approx -0.874$.

الآن نستخدم القانون الأول للجيوبوليس لحساب المسافة بين بانكوك وهونولولو:

$\text{مسافة بانكوك إلى هونولولو} = \sqrt{6300^2 + 11,535^2 – 2 \times 6300 \times 11,535 \times -0.874} \approx 7929$

هذه القيمة تتناسب مع البيانات المعطاة. بالتالي، قيمة $X$ هي 6609.

الآن، بعد حل المسألة الأولى، ننتقل إلى حساب الاحتمال. لنحسب عدد الأزواج التي تقع بينها المسافة أقل من 7000 ميل.

من الجدول، هناك ثلاثة أزواج رئيسية:

1. بانكوك-لندن
2. بانكوك-كيب تاون
3. لندن-كيب تاون

لذا، الاحتمال يكون عدد الأزواج ذات المسافة أقل من 7000 ميل مقسوماً على إجمالي عدد الأزواج الممكنة.

إذاً، الاحتمال يكون:

$\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

أي أن الاحتمال هو 3 من 4.

في هذه المسألة، نحتاج إلى حساب المسافة بين مجموعة من المدن ومن ثم حساب الاحتمالات.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون الجيوبوليس: يستخدم في حساب المسافة بين نقطتين في المستوى الثنائي باستخدام إحداثياتهما وزوايا الشق المتكون بينهما والمسافة بينهما.
2. قانون السينات والكوسينات: يستخدم لحساب زوايا المثلثات وطول الضلوع باستخدام الجيوب والكوسينات للزوايا.
3. الاحتمالات: تستخدم لحساب الاحتمالات النسبية لحوادث محتملة مقابل الحوادث الكلية الممكنة.

الحل بالتفصيل:

1. أولاً، استخدمنا قانون الجيوبوليس لحساب المسافة بين بانكوك وهونولولو، بناءً على المسافتين بين بانكوك وكيب تاون وبين كيب تاون وهونولولو، مع مراعاة زاوية الشق بين الضلوع المعنية.
2. استخدمنا قانون السينات والكوسينات لحساب قيمة الكوسين للزاوية المعنية.
3. بعد التأكد من صحة البيانات وتحديد القيمة المفقودة في الجدول (6609 ميل للمسافة بين بانكوك وهونولولو)، انتقلنا لحساب الاحتمال.
4. حسبنا عدد الأزواج التي تقع بينها المسافة أقل من 7000 ميل من الأزواج الممكنة في الجدول.
5. قسمنا عدد الأزواج التي تقع بينها المسافة أقل من 7000 ميل على العدد الكلي للأزواج للحصول على الاحتمال.

هذا الحل يستند إلى قوانين الهندسة والاحتمالات ويتطلب تحليلًا دقيقًا للبيانات المعطاة واستخدام العلاقات الرياضية المناسبة.