حساب الكسر المتكرر للعدد 2.2 (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب الكسر المتكرر للعدد العشري الذي يتكرر فيه الرقم 2 بعد الفاصلة. يمكن تمثيل هذا العدد على النحو التالي: $.\overline{2}$.

للعثور على الكسر المتكرر المطلوب، فلنفترض أن $x = .\overline{2}$، ثم نقوم بطرح الجزء الصحيح من العدد لنحصل على الكسر المطلوب. بما أن الرقم يتكرر، فإننا نلاحظ أنه إذا ضربناه في 10، سيعطينا الرقم نفسه مع إضافة 2 بعد الفاصلة.

لذا:
$10x = 2.\overline{2}$

ثم نقوم بطرح العددين للحصول على الفرق بينهما:
$10x – x = 2.\overline{2} – .\overline{2}$
$9x = 2$

من هنا، يمكننا حساب قيمة $x$ عن طريق قسمة العدد 2 على 9:
$x = \frac{2}{9}$

إذاً، الكسر المتكرر للعدد $.\overline{2}$ هو $\frac{2}{9}$.

لحساب الكسر المتكرر للعدد $.\overline{2}$، نحتاج إلى الانتباه إلى خصائص الأعداد المتكررة واستخدام بعض القوانين الرياضية المهمة.

لنعيد تفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. تعريف العدد المتكرر: الرقم $.\overline{2}$ يعني أن الرقم 2 يتكرر بعد الفاصلة.

2. تمثيل العدد بالمتغير: لنمثل العدد المتكرر بالمتغير $x$، إذاً $x = .\overline{2}$.

3. الاستفادة من التكرار: نلاحظ أنه عند ضرب العدد $x$ في 10، يتكرر الرقم 2 بعد الفاصلة. لذا:
   $10x = 2.\overline{2}$

4. طرح الأعداد المتكررة: نطرح العددين للحصول على الفرق بينهما:
   $10x – x = 2.\overline{2} – .\overline{2}$
   يُلاحظ أن $.\overline{2}$ يتقلص ويُلغى من الجانبين، ويبقى 2 على اليمين، وهو يمثل 2.

5. استخدام القواعد الأساسية للجبر: بعد الطرح، نحصل على:
   $9x = 2$

6. حساب الكسر المتكرر: للحصول على قيمة $x$، نقسم الجانب الأيسر على 9:
   $x = \frac{2}{9}$

بهذا، نكون قد حسبنا الكسر المتكرر للعدد $.\overline{2}$ ووجدنا أنه يُمثل بالكسر $\frac{2}{9}$.

هذه العملية استندت إلى فهم خصائص الأعداد المتكررة واستخدام قواعد الجبر الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.