حساب القيم المعكوسة مود 25 (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير $3^{-1} + 3^{-2} \pmod{25}$.

أولاً، نحسب قيمة $3^{-1}$ و $3^{-2}$. يُعرف $3^{-1}$ باسم العدد المعكوس للعدد 3 مُقسَّماً على 25، ويُمثل هذا باستخدام الحساب الموديولاري. نستخدم الخوارزمية الموسعة لحساب العكس التكاملي.

نبدأ بحساب $3^{-1}$ مود 25:

نستخدم الخوارزمية الموسعة للعثور على العكس التكاملي لـ 3 مود 25:

نبدأ بالمعادلة:
$25 = 3 \times 8 + 1$

ثم:
$1 = 25 – 3 \times 8$

نلاحظ أن 1 هو باقي قسمة 25 على 3 بمعامل -8.
الآن، بما أننا نريد العكس التكاملي الإيجابي، فإننا نجمع 25 للعامل السالب لنحصل على العكس التكاملي الإيجابي:
$1 = 25 – 3 \times 8$
$1 = 25 – 24$
$1 = 1$

لذلك، $3^{-1} \equiv 8 \pmod{25}$.

الآن، نقوم بحساب $3^{-2}$ مود 25:
نعلم أنه من خلال الحساب،
$3^{-2} = (3^{-1})^2$

وبالتالي:
$3^{-2} \equiv 8^2 \equiv 64 \equiv 14 \pmod{25}$

الآن، نقوم بجمع القيمتين:
$3^{-1} + 3^{-2} \equiv 8 + 14 \equiv 22 \pmod{25}$

إذاً، الإجابة هي 22.

لحل المسألة، نستخدم العديد من الخطوات والقوانين الرياضية المهمة:

1. حساب العكس التكاملي: نستخدم الخوارزمية الموسعة لحساب العكس التكاملي. هذه الخوارزمية تساعد في إيجاد العدد المعكوس في الحساب الموديولاري.

2. قوانين الأسس: نستخدم قوانين الأسس لحساب قيم $3^{-1}$ و $3^{-2}$. على سبيل المثال، $3^{-2} = (3^{-1})^2$.

3. الحساب الموديولاري: نستخدم الحساب الموديولاري لتحديد باقي القسمة. هذا يعني أننا نقوم بحساب الناتج ونأخذ الباقي عند القسمة على العدد المعطى.

4. الجمع الموديولاري: بعد حساب $3^{-1}$ و $3^{-2}$ بالشكل الصحيح، نقوم بجمع القيمتين ونأخذ الباقي عند القسمة على العدد المعطى.

5. المثلثات المتشابهة وقوانين الأسس: في حساب $3^{-1}$ مود 25، نستخدم فكرة المثلثات المتشابهة لإيجاد العكس التكاملي بشكل أكثر فعالية.

حل المسألة يتطلب تطبيق هذه القوانين والخطوات بدقة للوصول إلى الإجابة الصحيحة. باستخدام هذه الأدوات الرياضية، يمكننا حل المسألة والوصول إلى الإجابة بشكل دقيق وفعال.