حساب القيمة القصوى للقوس الرباعي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو أقصى قيمة لـ $y$ إذا كان $y = -x^2 + 5$ و $x$ عدد حقيقي؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى معرفة كيفية العثور على القيمة القصوى للتعبير $y = -x^2 + 5$. يمثل هذا التعبير معادلة رياضية لقوس قطع مكافئ، حيث يكون $y$ الارتفاع العمودي و $x$ الأفقي.

للعثور على القيمة القصوى لـ $y$، يجب معرفة أن الرقم المضاعف لـ $x^2$ هو سالب، مما يعني أن القمة ستكون أعلى نقطة في القوس.

تذكر أنه لأن $x^2$ مضاعف بسالب، فإن القيمة القصوى لـ $y$ ستكون في نقطة القمة.
القمة تكون عند $x = \frac{-b}{2a}$، حيث $a$ و $b$ هما معاملات التعبير الثانوي للمعادلة الرباعية $ax^2 + bx + c$.
في هذه الحالة، $a = -1$ و $b = 0$ و $c = 5$.

لذا، نحسب:
$x = \frac{-0}{2 \times -1} = \frac{0}{-2} = 0$

الآن، بمعرفة $x$، يمكننا إيجاد قيمة $y$:
$y = -0^2 + 5 = -0 + 5 = 5$

إذاً، القيمة القصوى لـ $y$ هي $5$، وهي الارتفاع الأعلى للقوس.

لحل المسألة وإيجاد القيمة القصوى للتعبير $y = -x^2 + 5$، سنقوم بتطبيق مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية.

1. معادلة القوس الرباعي: المعادلة $y = -x^2 + 5$ تمثل قوسًا رباعيًّا يتجه نحو الأسفل، حيث يكون معامل $x^2$ سالبًا، مما يعني أن القوس مفتوح نحو الأسفل.

2. نقطة القمة: للعثور على نقطة القمة، نحتاج إلى استخدام الصيغة:
   $x = \frac{-b}{2a}$
   حيث $a$ و $b$ هما المعاملات في معادلة القوس الرباعي $ax^2 + bx + c$.

3. القيمة القصوى لـ $y$: بمعرفة قيمة $x$ في نقطة القمة، يمكننا حساب قيمة $y$ المتوافقة.

لذا، لنقم بحل المسألة:

أولاً، نحدد المعاملات:
$a = -1$ (معامل $x^2$)
$b = 0$ (معامل $x$)
$c = 5$ (الثابت)

ثم، نستخدم الصيغة للعثور على $x$ في نقطة القمة:
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-0}{2 \times -1} = \frac{0}{-2} = 0$

الآن، بعد أن وجدنا قيمة $x$ في نقطة القمة، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $y$:
$y = -0^2 + 5 = -0 + 5 = 5$

بالتالي، القيمة القصوى لـ $y$ هي $5$.

القوانين المستخدمة:

1. معادلة القوس الرباعي: تمثيل القوس الرباعي بمعادلة من الدرجة الثانية.
2. نقطة القمة: استخدام الصيغة $x = \frac{-b}{2a}$ لحساب موقع نقطة القمة.
3. القيمة القصوى لـ $y$: حساب قيمة $y$ عند نقطة القمة للحصول على القيمة القصوى لـ $y$ في القوس الرباعي.

بهذه الطريقة، نحل المسألة ونحدد القيمة القصوى لـ $y$ باستخدام المفاهيم الرياضية المناسبة.