حساب القيمة الدنيا لـ n في مسألة العوامل

إذا كانت الأعداد 5 و 8 عوامل للعدد 60n، فما هو القيمة الدنيا لـ n؟

لحل هذه المسألة، يجب أن نبحث عن أصغر قيمة ممكنة لـ n التي تجعل 5 و 8 عوامل للعبارة 60n.

لنجد الإجابة، نبدأ بتحليل كل عامل على حدة:

1. 5 هو عامل للعدد 60n، ولكن القيمة الأصغر لـ n التي تجعل ذلك صحيحًا هي n = 1.
   لذلك، عندما n = 1، نحصل على 5 × 60 × 1 = 300.

2. العدد 8 هو أيضًا عامل للعبارة 60n، ولكن يجب أن يكون n هو عدد صحيح.
   أقل قيمة صحيحة لـ n التي تجعل ذلك صحيحًا هي n = 3.
   لذلك، عندما n = 3، نحصل على 8 × 60 × 3 = 1440.

الخطوة الأخيرة هي اختيار القيمة الأكبر بين القيمتين التي حسبناهما، وهي 1440.

إذاً، القيمة الدنيا لـ n التي تجعل 5 و 8 عوامل للعدد 60n هي n = 3، والقيمة المقابلة لـ 60n هي 1440.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر، نبدأ بفحص كيف يمكن للعددين 5 و 8 أن يكونا عوامل للعدد 60n.

لنكتب العبارة بشكل رياضي:
$60n = 5 \times 8 \times k$

حيث $k$ هو عدد صحيح. الآن، للعثور على القيمة الدنيا لـ $n$، نستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة العوامل المشتركة:
   إذا كانت عددين عوامل لعدد ما، يمكننا تقسيم العدد على العدد المشترك للعثور على القيمة المطلوبة.
   في هذه الحالة، عامل مشترك بين 5 و 8 هو 40 (5 × 8).

2. القوانين الحسابية:
   يمكننا استخدام العمليات الحسابية الأساسية مثل الجمع والضرب لحساب النتائج.

لنقوم بتقسيم العبارة على عامل مشترك:
$60n = 5 \times 8 \times k$
$60n = 40k$

الآن، نقوم بتقسيم كل جانب على 40:
$n = \frac{40k}{60}$

نقوم بتبسيط الكسر:
$n = \frac{2}{3}k$

الآن، نحتاج للعثور على أصغر قيمة لـ $k$ بحيث يكون $n$ عددًا صحيحًا. أقل قيمة صحيحة لـ $k$ هي 3 (لأننا نحتاج إلى مضاعف مشترك لـ 2/3). لذلك:
$n = \frac{2}{3} \times 3 = 2$

إذا كان $n = 2$، يكون العدد المطلوب:
$60n = 60 \times 2 = 120$

لكننا لا نستسلم هنا، لأن السؤال يطلب القيمة الدنيا لـ $n$، وهي $n = 2$، والقيمة المقابلة لـ $60n$ هي:
$60 \times 2 = 120$

إذا كانت القيمة الدنيا لـ $n$ التي تجعل 5 و 8 عوامل للعدد 60n هي $n = 2$، والقيمة المقابلة لـ $60n$ هي 120.