حساب القاسم المشترك الأصغر بكفاءة (مسألة رياضيات)

حسنًا، سنقوم بحساب الضرب الرئيسي للكسور التي ذُكرت للوصول إلى القاسم المشترك الأصغر (L.C.M). الكسور المعنية هي:

$\frac{7}{10}$ ، $\frac{8}{9}$ ، $\frac{3}{8}$ ، $\frac{5}{12}$

لحساب ال L.C.M، نبدأ بتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية. لنقم بذلك لكل عدد:

1. $\frac{7}{10}$ – يمكن تحليل 10 إلى $2 \times 5$. إذاً: $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 1}{2 \times 5}$.

2. $\frac{8}{9}$ – لا يمكن تحليل 9 إلى عوامل أولية إضافية، لذا يظل كما هو.

3. $\frac{3}{8}$ – يمكن تحليل 8 إلى $2 \times 2 \times 2$. إذاً: $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 1}{2 \times 2 \times 2}$.

4. $\frac{5}{12}$ – يمكن تحليل 12 إلى $2 \times 2 \times 3$. إذاً: $\frac{5}{12} = \frac{5 \times 1}{2 \times 2 \times 3}$.

الآن نأخذ العوامل الأولية بأكبر قوة ظاهرة في أي عدد، ونضربها معًا للحصول على ال L.C.M:

$L.C.M = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 1 = 840$

إذاً، القاسم المشترك الأصغر للكسور $\frac{7}{10}$ ، $\frac{8}{9}$ ، $\frac{3}{8}$ ، $\frac{5}{12}$ هو 840.

بالطبع، دعونا نستكشف التفاصيل بشكل أكبر لحل هذه المسألة والقوانين المستخدمة في هذا السياق.

أولاً، لنتذكر أن الحد الأقصى للمشترك الأصغر (L.C.M) هو ناتج ضرب الأعداد الأولية بأعلى قوة ظاهرة في أي عدد. لحل هذه المسألة، سنعتمد على قوانين الجمع والضرب للكسور:

1. تحليل الكسور:

   • $\frac{7}{10}$ يمكن تحليلها إلى $\frac{7 \times 1}{2 \times 5}$.
   • $\frac{8}{9}$ تظل كما هي.
   • $\frac{3}{8}$ يمكن تحليلها إلى $\frac{3 \times 1}{2 \times 2 \times 2}$.
   • $\frac{5}{12}$ يمكن تحليلها إلى $\frac{5 \times 1}{2 \times 2 \times 3}$.

2. حساب L.C.M:

   • نقوم بجمع العوامل الأولية بأعلى قوة ظاهرة في أي عدد:
     $L.C.M = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 1 = 840$

3. تجميع الكسور بناءً على L.C.M:

   • نقوم بتوسيع كل كسر ليكون له نفس المقام (البسط)، حيث يكون المقام هو القاسم المشترك الأصغر:
     • $\frac{7}{10}$ توسيعها يكون $\frac{7 \times 84}{10 \times 84}$.
     • $\frac{8}{9}$ توسيعها يكون $\frac{8 \times 93}{9 \times 93}$.
     • $\frac{3}{8}$ توسيعها يكون $\frac{3 \times 105}{8 \times 105}$.
     • $\frac{5}{12}$ توسيعها يكون $\frac{5 \times 70}{12 \times 70}$.

4. جمع الكسور:

   • نقوم بجمع البسط فقط، حيث يكون المقام هو L.C.M:
     $\frac{7 \times 84 + 8 \times 93 + 3 \times 105 + 5 \times 70}{840}$

5. تبسيط الكسر الناتج إن أمكن:

   • إذا كان بالإمكان تبسيط الكسر، يمكننا القيام بذلك.

هذا النهج يعتمد على فهم قوانين الكسور والعمليات الحسابية الأساسية.