حساب الفارق بين دوال الضرب (مسألة رياضيات)

المسألة:
لكل عدد صحيح $n \geq 3$، تعرف الدالة $g(n)$ كضرب جميع الأعداد الفردية من 1 إلى $n$، بما في ذلك $n$. ما هو قيمة $g(101) – g(99)$؟

الحل:
لحساب قيمة $g(101)$، نضرب جميع الأعداد الفردية من 1 إلى 101. بالمثل، لحساب $g(99)$، نضرب جميع الأعداد الفردية من 1 إلى 99.

لحساب $g(101)$:
$g(101) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 99 \times 101$

لحساب $g(99)$:
$g(99) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$

الآن، للحصول على الفارق $g(101) – g(99)$، يجب علينا إزالة جميع الأعداد الفردية المشتركة بين الاثنين.

العامل المشترك الوحيد هو 99. لذا، يمكننا إلغاءه:
$g(101) – g(99) = 101$

إذاً، قيمة $g(101) – g(99)$ هي 101.

باستخدام القوانين الرياضية والتحليل العددي، يمكننا توضيح الحل بمزيد من التفاصيل.

أولاً، لنعرف القانون المستخدم في تعريف الدالة $g(n)$:
$g(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (n-2) \times n$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. ضرب الأعداد الفردية:

   • في تعريف الدالة $g(n)$، نقوم بضرب جميع الأعداد الفردية من 1 إلى $n$.

2. العوامل المشتركة:

   • لحساب الفارق $g(101) – g(99)$، نقوم بإلغاء العوامل المشتركة بين الاثنين، والتي هي العدد الفردي 99.

3. التبسيط:

   • بعد إلغاء العامل المشترك، نقوم بتبسيط التعبير إلى القيمة النهائية.

الآن، لنقم بتوضيح الحساب:

$g(101) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 99 \times 101$
$g(99) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$

العامل المشترك: 99

$g(101) – g(99) = (1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 101) – (1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99)$

بعد إلغاء العامل المشترك:

$g(101) – g(99) = 101 – 99 = 2$

إذاً، قيمة $g(101) – g(99)$ هي 2، وتم استخدام قوانين الضرب والتبسيط في الحل.