حساب العنصر العكسي في الحساب المودولاري (مسألة رياضيات)

مطلوب حساب باقي القسمة على 185 لعدد $2^{-1}$. باقي القسمة يتراوح بين 0 و 184.

الحل:

نبحث عن عدد صحيح $x$ حيث يكون:

$2x \equiv 1 \pmod{185}$

لحساب عدد $x$، نحتاج إلى استخدام خوارزمية اكتشاف العنصر العكسي. نبدأ بتحديد $x$ عبر تقديم حلول للمعادلة أعلاه.

نستخدم خوارزمية الاستبعاد للعثور على $x$ المناسب. نبدأ بقيمة مبتدئية لـ $x$ ونقوم بزيادتها تدريجياً حتى نجد القيمة المطلوبة.

لنقم بذلك:

لحل مسألة حساب باقي القسمة على 185 للعدد $2^{-1}$، نحتاج إلى استخدام مفهوم العنصر العكسي في حساب المودولو. في الحل، نستخدم القوانين التالية:

1. خوارزمية اكتشاف العنصر العكسي: هذه الخوارزمية تساعدنا على إيجاد العنصر العكسي لعدد معين بالنسبة للمودولو المحدد. في هذه الحالة، نبحث عن $x$ حيث يتحقق $2x \equiv 1 \pmod{185}$.

2. قانون الباقي عند القسمة: وهو قانون ينص على أنه إذا قمنا بقسم عدد على عدد آخر، فإن الباقي هو الفرق بين العددين بعد القسمة.

الآن، سنستخدم الخوارزمية لإيجاد العنصر العكسي $x$. نبدأ بتجربة قيم لـ $x$ حتى نجد القيمة المناسبة التي تحقق المعادلة $2x \equiv 1 \pmod{185}$.

نبدأ بقيمة $x = 1$ ونزيد قيمة $x$ بشكل تدريجي حتى نجد القيمة التي تحقق المعادلة. في هذا السياق، نحتاج إلى قيمة $x$ التي تجعل $2x$ يساوي 1 زائد مضاعفات لـ 185، وذلك بحساب $2x \mod 185$ حتى نجد القيمة التي تساوي 1.

نقوم بتجربة القيم من 1 إلى 92 ونلاحظ أنه عند $x = 93$، يصبح الباقي 1، مما يعني أن $2^{-1} \mod 185 = 93$.

بهذا، نكون قد استخدمنا القوانين الأساسية للمودولو والعنصر العكسي لحل المسألة.