حساب العناصر في تسلسل حسابي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
في تسلسل حسابي، العنصر السادس عشر هو 8 والعنصر السابع عشر هو 10. ما قيمة العنصر الثاني؟

الحل:
لنستخدم الصيغة العامة لتسلسل الأعداد الحسابية لحساب القيمة المطلوبة. تعطى الصيغة العامة للعنصر الثاني في تسلسل حسابي بواسطة:

$a_2 = a_1 + d$

حيث:

• $a_2$ هو العنصر الثاني.
• $a_1$ هو العنصر الأول.
• $d$ هو الفرق بين العناصر المتتالية.

لدينا المعلومات التالية:

• $a_{16} = 8$ (العنصر السادس عشر هو 8).
• $a_{17} = 10$ (العنصر السابع عشر هو 10).

نستخدم العلاقة بين العناصر المتتالية لحساب الفرق بين العناصر:
$d = a_{17} – a_{16} = 10 – 8 = 2$

الآن، بمعرفة قيمة $d$ يمكننا حساب العنصر الثاني باستخدام العنصر الأول:
$a_2 = a_1 + d$

لكننا لا نملك قيمة العنصر الأول $a_1$ حاليًا. لكن يمكننا استخدام العلاقة بين العناصر والفرق لحسابه.

نستخدم العنصر السادس عشر والفرق لحساب العنصر الأول:
$a_{16} = a_1 + 15d$
$8 = a_1 + 15 \times 2$
$8 = a_1 + 30$
$a_1 = 8 – 30 = -22$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة العنصر الأول $a_1$، نستخدمها لحساب العنصر الثاني:
$a_2 = a_1 + d = -22 + 2 = -20$

إذاً، قيمة العنصر الثاني في التسلسل الحسابي هي -20.

لحل المسألة، سنستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. تسلسل حسابي (Arithmetic Sequence):
   تسلسل حسابي هو تسلسل من الأعداد حيث يكون هناك فرق ثابت بين كل عنصرين متتاليين. يتم تحديد العنصر الأول والفرق بين العناصر في التسلسل.

2. صيغة العنصر في تسلسل حسابي:
   العنصر العام في تسلسل حسابي يمكن حسابه باستخدام الصيغة:
   $a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$
   حيث:

   • $a_n$ هو العنصر الذي نبحث عنه.
   • $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل.
   • $n$ هو موضع العنصر في التسلسل.
   • $d$ هو الفرق بين العناصر المتتالية.

3. حل المعادلات:
   سنستخدم الجبر لحل المعادلات للعثور على القيم المطلوبة.

الآن، سنطبق هذه القوانين على المسألة:
لدينا:

• $a_{16} = 8$
• $a_{17} = 10$

نريد حساب العنصر الثاني $a_2$.

أولاً، نحسب الفرق بين العناصر المتتالية:
$d = a_{17} – a_{16} = 10 – 8 = 2$

ثم، نستخدم العنصر الأول والفرق لحساب العنصر الثاني:
$a_2 = a_1 + d$

ولكننا لا نعرف قيمة العنصر الأول $a_1$، لذا سنحتاج لحسابه.

نستخدم العنصر السادس عشر لحساب $a_1$ باستخدام العلاقة:
$a_{16} = a_1 + 15d$
$8 = a_1 + 15 \times 2$
$8 = a_1 + 30$
$a_1 = 8 – 30 = -22$

الآن بعد حساب $a_1$، نستخدمه لحساب $a_2$:
$a_2 = a_1 + d = -22 + 2 = -20$

إذاً، قيمة العنصر الثاني في التسلسل الحسابي هي -20.