حساب العلاقة بين GCD و LCM (مسألة رياضيات)

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة بشكل رياضي:

نريد أن نجد حاصل ضرب أكبر مشترك مشترك وأصغر مضاعف مشترك للعددين 100 و $X$. إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي 12000، فما قيمة المتغير المجهول $X$؟

الآن، دعنا نقوم بحل المسألة:

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خواص الأعداد الأولية والعمليات الأساسية عليها.

لحساب القيمة المجهولة $X$، نحتاج إلى معرفة العلاقة بين العمليات الأساسية والأعداد الأولية.

أولاً، لنجد القاسم المشترك الأكبر (GCD) للعددين 100 و $X$. وبما أن حاصل ضرب الـ GCD و LCM يساوي إجابة المسألة، يمكننا استخدام هذه العلاقة.

لنجد الـ GCD، نستخدم عادة خوارزمية إقليدس للحصول على القيمة الصحيحة. ولكن في هذه الحالة، نعرف أن حاصل ضرب GCD و LCM يساوي 12000. يعني أن:

$\text{GCD}(100, X) \times \text{LCM}(100, X) = 12000$

الآن، نعرف أن LCM هو ضرب العددين مقسومًا على الـ GCD. يمكننا استخدام هذا المعرفة لحساب قيمة الـ GCD.

لنجد الـ GCD أولاً، نستخدم العلاقة التالية:

$\text{GCD}(100, X) \times \text{LCM}(100, X) = 100 \times X$

الآن، نعرف أن حاصل ضرب الـ GCD و LCM يساوي 12000، وأن الـ LCM يساوي:

$\text{LCM}(100, X) = \frac{100 \times X}{\text{GCD}(100, X)}$

وبما أن:

$\text{GCD}(100, X) \times \text{LCM}(100, X) = 12000$

فإننا نستطيع كتابة:

$\text{GCD}(100, X) \times \frac{100 \times X}{\text{GCD}(100, X)} = 12000$

تبسيط المعادلة يؤدي إلى:

$100 \times X = 12000$

الآن، يمكننا حساب قيمة $X$ بتقسيم 12000 على 100:

$X = \frac{12000}{100} = 120$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 120.

لحل المسألة وتوجيهها بشكل أكثر تفصيلًا، دعنا نستخدم الخواص والقوانين الرياضية المتعلقة بأعداد الـ GCD و LCM:

1. خواص الأعداد الأولية:

   • الـ GCD (القاسم المشترك الأكبر) لعددين يمثل أكبر عدد يقسم كلاهما بدقة.
   • الـ LCM (المضاعف المشترك الأصغر) لعددين يمثل أصغر عدد يقسم كل منهما بدقة.
   • علاقة بين GCD و LCM: حاصل ضرب الـ GCD و LCM لعددين ما يساوي حاصل ضرب العددين نفسهما.

2. خوارزمية إقليدس للـ GCD:

   • تقوم هذه الخوارزمية بحساب الـ GCD بشكل فعّال عن طريق تقسيم العددين واستبقال الأرقام حتى يتم الوصول إلى القاسم المشترك الأكبر.

الآن، دعنا ننطلق في الحل بالتفصيل:

أولاً، لنستخدم العلاقة الأساسية بين GCD و LCM:

$\text{GCD}(100, X) \times \text{LCM}(100, X) = 100 \times X$

لكننا نعرف أيضًا أن:

$\text{GCD}(100, X) \times \text{LCM}(100, X) = 12000$

بناءً على البيانات المعطاة في المسألة.

من هنا، نحتاج إلى حساب قيمة الـ GCD. للقيام بذلك، يمكننا استخدام خوارزمية إقليدس أو استخدام العلاقة المذكورة أعلاه:

$\text{GCD}(100, X) = \frac{\text{LCM}(100, X) \times X}{100}$

الآن، من المعادلة الأصلية:

$\text{GCD}(100, X) \times \text{LCM}(100, X) = 12000$

نستبدل قيمة الـ GCD فيها:

$\left( \frac{\text{LCM}(100, X) \times X}{100} \right) \times \text{LCM}(100, X) = 12000$

لدينا معادلة تحتوي على متغير واحد، وهو $X$، ونعرف أن قيمة الـ LCM تتناسب عكسياً مع الـ GCD.

بمجرد حساب قيمة الـ GCD، نستطيع بسهولة حساب الـ LCM باستخدام العلاقة المعروفة:

$\text{LCM}(100, X) = \frac{100 \times X}{\text{GCD}(100, X)}$

بعد الحصول على قيمة الـ LCM، نستطيع بسهولة حساب قيمة $X$ بالقسمة على 100.

هذا النهج يتبع التفكير الرياضي في حل مشكلة الجمع بين GCD و LCM وتطبيق القوانين والعلاقات بينهما للوصول إلى الإجابة الصحيحة.