حساب السرعة المتوسطة في الرحلات (مسألة رياضيات)

الرجل ينطلق من نقطة أ إلى نقطة ب بسرعة 20 كم/ساعة ويعود إلى نقطة أ بسرعة 30 كم/ساعة. ما هي سرعته المتوسطة للرحلة كاملة؟

الحل:
لحساب السرعة المتوسطة للرحلة كاملة، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

في هذه الحالة، نعلم أن السرعة تعبر عن المسافة المقطوعة في الوحدة الزمنية. لنحسب الزمن الإجمالي، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{الزمن الإجمالي} = \frac{\text{المسافة الذهاب}}{\text{السرعة ذهاب}} + \frac{\text{المسافة عودة}}{\text{السرعة عودة}}$

الآن، لنحسب الزمن الإجمالي. إذا كانت المسافة بين نقطة أ ونقطة ب هي $d$، فإن المسافة ذهاب تكون $d$ والمسافة عودة أيضًا $d$، والسرعة ذهاب تكون 20 كم/ساعة والسرعة عودة تكون 30 كم/ساعة.

$\text{الزمن الإجمالي} = \frac{d}{20} + \frac{d}{30}$

الآن، لنقم بحساب السرعة المتوسطة باستخدام الصيغة الأولى:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d}{\frac{d}{20} + \frac{d}{30}}$

لتبسيط هذه الصيغة، يمكننا ضرب كل المقامات في المقام الآخر:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d}{\frac{30d + 20d}{600}}$

بتبسيط الكسر في المقام:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d}{\frac{50d}{600}}$

ثم نقوم بتبسيط الكسر الكبير:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d \times 600}{50d}$

وأخيرًا، نقوم بتبسيط الكسر:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{1200}{50}$

$\text{السرعة المتوسطة} = 24$

إذا كانت السرعة المتوسطة للرحلة كاملة تساوي 24 كم/ساعة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليلها باستخدام القوانين الفيزيائية المتعلقة بالسرعة والزمن والمسافة. سنستخدم القانون الأساسي:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

ونستخدم أيضًا القانون الذي يربط السرعة والزمن والمسافة في الحالة العامة:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

المسألة تتحدث عن رحلة ذهاب وعودة بسرعات مختلفة. لنحلها:

للجزء الأول من الرحلة (الذهاب):
السرعة الذهاب = 20 كم/ساعة
لنفترض أن المسافة بين النقطتين $أ$ و $ب$ هي $d$ كيلومتر.
$\text{الزمن ذهاب} = \frac{d}{20}$

للجزء الثاني من الرحلة (العودة):
السرعة العودة = 30 كم/ساعة
$\text{الزمن عودة} = \frac{d}{30}$

الزمن الإجمالي:
$\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن ذهاب} + \text{الزمن عودة} = \frac{d}{20} + \frac{d}{30}$

الآن، لحساب السرعة المتوسطة، نستخدم القانون:
$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

نعلم أن المسافة الإجمالية هي $2d$ (ذهاب وعودة).
$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d}{\frac{d}{20} + \frac{d}{30}}$

لتبسيط الكسور في المقام:
$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d \times 600}{50d}$

ثم:
$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{1200}{50}$

وأخيرًا:
$\text{السرعة المتوسطة} = 24$

القوانين المستخدمة:

1. قانون السرعة: $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$
2. قانون العلاقة بين السرعة والمسافة والزمن: $\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$
3. الزمن الإجمالي للرحلة الذهاب والعودة: $\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن ذهاب} + \text{الزمن عودة}$
4. قانون السرعة المتوسطة: $\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$