حساب السرعة المتوسطة في الرحلات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

“غانيش يسافر بين بلدين، X و Y. يقطع المسافة من X إلى Y بسرعة متوسطة قدرها 43 كم/ساعة، ولكنه يقطع المسافة من Y إلى X بسرعة متوسطة قدرها 34 كم/ساعة. ما هي السرعة المتوسطة له خلال الرحلة بأكملها؟”

الحل:

لنقم بحساب السرعة المتوسطة باستخدام الصيغة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

لكن هذا يتطلب معرفة المسافة بين المدينتين والزمن اللازم للذهاب من X إلى Y ثم العودة من Y إلى X.

فلنفترض أن المسافة بين X و Y تكون $D$ كيلومتر، ولنفترض أن الزمن اللازم للذهاب من X إلى Y يكون $t_1$ ساعة، والزمن اللازم للعودة من Y إلى X يكون $t_2$ ساعة.

المسافة الإجمالية = المسافة ذهاباً + المسافة عائدة = $D + D = 2D$

الزمن الإجمالي = الزمن ذهاباً + الزمن عائداً = $t_1 + t_2$

السرعة المتوسطة = $\frac{2D}{t_1 + t_2}$

لكننا لا نعلم قيم $D$، $t_1$، و$t_2$، لذا لا يمكننا حساب القيمة المحددة للسرعة المتوسطة. إذاً، يمكننا ترك الإجابة في هذا الشكل العام.

بالطبع، سنقوم بتوسيع الحل وتفصيل الخطوات الرياضية، ونستخدم قوانين الحركة ومفهوم السرعة والمسافة.

لنفترض أن المسافة بين المدينتين X و Y هي $D$ كيلومتر، ولنفترض أن الزمن الذهاب من X إلى Y هو $t_1$ ساعة، والزمن للعودة من Y إلى X هو $t_2$ ساعة.

القوانين المستخدمة:

1. السرعة = المسافة ÷ الزمن

   يمكن تعبير سرعة الرحيل من X إلى Y بالعلاقة:
   $\text{سرعة الرحيل} = \frac{D}{t_1}$

   وسرعة العودة من Y إلى X بالعلاقة:
   $\text{سرعة العودة} = \frac{D}{t_2}$

2. السرعة المتوسطة = المسافة الإجمالية ÷ الزمن الإجمالي

   يمكن تعبير السرعة المتوسطة بالعلاقة:
   $\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2D}{t_1 + t_2}$

الحل:

باستخدام العلاقات أعلاه، نستطيع تعبير السرعة المتوسطة كالتالي:
$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2D}{t_1 + t_2}$

وهنا يكمن التحدي، حيث نحتاج إلى معلومات إضافية لتحديد قيم $D$ و$t_1$ و$t_2$. قد يتم توفير هذه المعلومات في نص المسألة أو يتعين علينا الاعتماد على تفسيرات أخرى لتحديد هذه القيم.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا معلومات إضافية تحديد قيمة واحدة على الأقل من $D$ أو $t_1$ أو $t_2$، يمكننا حساب القيمة المتبقية واستخدامها في الصيغة النهائية لحساب السرعة المتوسطة.

للتأكيد على الإجابة الصحيحة، يجب التحقق من المعلومات المتاحة في نص المسألة وضمان استخدام القوانين الرياضية بشكل صحيح.