حساب الزوايا في المثلثات. (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن $\angle PQR = 48^\circ$، فإن $\angle PQM = 48^\circ$ أيضًا نظرًا لأن $\angle PQM$ خارجي للمثلث $\triangle PQR$، والزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة لها.

ومن المعلومات الإضافية أن $\angle QRP = 180^\circ – \angle PQR – \angle PRQ = 180^\circ – 48^\circ – 24^\circ = 108^\circ$. وبما أن $\angle QRP$ و$\angle PQM$ خارجيان للمثلث $\triangle PQR$، فإنهما متكافئان بالحجم.

لذا، $\angle PQM = \angle QRP = 108^\circ$.

والآن، لنحدد قيمة $\angle PMN$. إذاً، نرى أن $\angle PMN$ هي الزاوية الداخلية للمثلث $\triangle PMN$ على النقطة $M$. ونعلم أن مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$.

لذا، نستخدم الزاوية المعروفة لحساب الزاوية المطلوبة. يكون:

$\angle PMN = 180^\circ – \angle PQM – \angle QMN$

ونعرف أن $\angle PQM = 108^\circ$ (من الجزء السابق) و $\angle QMN = 24^\circ$ (لأنها زاوية في المثلث $\triangle QMN$).

بالتالي:

$\angle PMN = 180^\circ – 108^\circ – 24^\circ = 48^\circ$

إذاً، الزاوية $\angle PMN$ تساوي $48^\circ$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين الهندسية الأساسية للزوايا في المثلثات.

1. قانون مجموع زوايا المثلث: في أي مثلث، مجموع قياس زواياه يساوي $180^\circ$. هذا يساعدنا في حساب الزوايا المفقودة عندما نعرف قيم بعض الزوايا.

2. زوايا المثلث الخارجية: زاوية خارجية لمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة لها. هذا يساعدنا في حساب الزوايا الخارجية عندما نعرف قيم الزوايا الداخلية.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين على المثلثات المعطاة في السؤال:

1. نُعرف أن $\angle PQR = 48^\circ$.

2. نستخدم قانون مجموع زوايا المثلث لحساب $\angle QRP$:
   $\angle QRP = 180^\circ – \angle PQR – \angle PRQ = 180^\circ – 48^\circ – 24^\circ = 108^\circ$

3. بما أن $\angle PQM$ خارجية لمثلث $\triangle PQR$، فإنها تساوي نفس القيمة التي حسبناها ل $\angle QRP$:
   $\angle PQM = \angle QRP = 108^\circ$

4. الآن، نريد حساب قيمة $\angle PMN$ في المثلث $\triangle PMN$. نستخدم قانون مجموع زوايا المثلث مرة أخرى:
   $\angle PMN = 180^\circ – \angle PQM – \angle QMN$
   ونعرف أن $\angle QMN = 24^\circ$، لذا:
   $\angle PMN = 180^\circ – 108^\circ – 24^\circ = 48^\circ$

بهذا، نصل إلى استنتاج أن قياس الزاوية $\angle PMN$ هو $48^\circ$، وتم حل المسألة باستخدام القوانين الهندسية المذكورة سابقًا.