حساب الزمن لتجاوز القطارات بسرعات مختلفة (مسألة رياضيات)

قطاران يسيران في اتجاهين معاكسين على مسارات متوازية. الطول الإجمالي لكل منهما هو 500 متر. سرعة الأولى هي 50 كم/ساعة، وسرعة الثانية هي 30 كم/ساعة. نريد حساب الوقت الذي يحتاجه القطار الأبطأ لتجاوز سائق القطار الأسرع.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام معادلة السرعة المتجهة، حيث تكون السرعة النسبية بين القطارين هي مجموع سرعتيهما. في هذه الحالة:

$V_{\text{نسبي}} = V_1 + V_2$

حيث:
$V_{\text{نسبي}}$ هي السرعة النسبية بين القطارين.
$V_1$ هي سرعة القطار الأسرع.
$V_2$ هي سرعة القطار الأبطأ.

ثم يمكننا استخدام المسافة المتبقية للتحرك لحساب الوقت:

$\text{الوقت} = \frac{\text{المسافة المتبقية}}{\text{السرعة النسبية}}$

المسافة المتبقية هي مجموع أطوال القطارين. بما أنهما يتحركان في اتجاهين معاكسين، فإن المسافة المتبقية تكون:

$\text{المسافة المتبقية} = \text{المسافة الإجمالية للقطارين} = 500 \, \text{م} + 500 \, \text{م}$

الآن نقوم بحساب السرعة النسبية:

$V_{\text{نسبي}} = 50 \, \text{كم/س} + 30 \, \text{كم/س}$

ثم نستخدم الصيغة النهائية لحساب الوقت:

$\text{الوقت} = \frac{1000 \, \text{م}}{80 \, \text{كم/س}}$

يمكننا تبسيط الوحدات إلى النظام الدولي والحصول على الوقت بالثواني، مع الأخذ في اعتبارنا أن 1 كم = 1000 متر و 1 ساعة = 3600 ثانية. الآن نحسب الوقت بالثواني:

$\text{الوقت} = \frac{1000 \, \text{م}}{80 \, \text{كم/س}} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}}$

قم بحساب القيمة النهائية للحصول على الوقت بالثواني.

تفاصيل الحل:

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام القوانين الفيزيائية المعروفة المتعلقة بالحركة والسرعة. القوانين التي سنعتمد عليها هي:

1. قانون الحركة الدائرية المتجاوبة:
   $\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

2. قانون حساب السرعة النسبية:
   $V_{\text{نسبي}} = V_1 + V_2$

3. تحويل الوحدات:
   يتم تحويل الوحدات إلى النظام الدولي للحسابات لضمان التوافق بين الوحدات المستخدمة في المسألة.

الخطوات:

أولاً، نحسب السرعة النسبية بجمع سرعتي القطارين:

$V_{\text{نسبي}} = 50 \, \text{كم/س} + 30 \, \text{كم/س}$

ثم نستخدم السرعة النسبية لحساب الوقت الذي يحتاجه القطار الأبطأ لتجاوز القطار الأسرع. نستخدم المعادلة:

$\text{الوقت} = \frac{\text{المسافة المتبقية}}{\text{السرعة النسبية}}$

حيث المسافة المتبقية هي مجموع طولي القطارين:

$\text{المسافة المتبقية} = 500 \, \text{م} + 500 \, \text{م}$

ثم نقوم بحساب الزمن باستخدام المعادلة، ولكن قبل ذلك يجب تحويل الوحدات إلى النظام الدولي:

$\text{الوقت} = \frac{1000 \, \text{م}}{80 \, \text{كم/س}} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}}$

نقوم بالحسابات للوصول إلى القيمة النهائية للزمن بالثواني.

تلك الخطوات تعكس كيفية استخدام القوانين الفيزيائية لحساب الزمن الذي يحتاجه القطار الأبطأ لتجاوز القطار الأسرع في هذه المسألة.