حساب الزمن لإكمال العمل الجماعي (مسألة رياضيات)

فرد ما يستطيع إنجاز عمل في خمسة أيام، ووالده يحتاج عشرين يومًا، بينما يستطيع ابنه الانتهاء منه في خمسة وعشرين يومًا. إذا كانوا جميعًا يعملون معًا، فكم سيستغرقون لإكمال العمل؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام معدل الأداء لكل فرد، حيث يكون معدل الأداء هو كمية العمل الذي يقوم به الشخص في اليوم الواحد. فلنعتبر أن كل من الرجل ووالده وابنه يقومون بعمل وحدة واحدة في كل يوم.

إذا كان الرجل ينهي العمل في خمسة أيام، فإن معدل أدائه هو 1/5 من العمل في اليوم. وبالمثل، إذا كان والد الرجل يحتاج عشرين يومًا، فإن معدل أدائه هو 1/20. أما ابنه الذي ينهي العمل في خمسة وعشرين يومًا، فمعدل أدائه هو 1/25.

عندما يعملون جميعًا معًا، يمكننا جمع معدلات الأداء الفردية للحصول على المعدل الكلي للعمل. لذا:

معدل الرجل + معدل والده + معدل ابنه = معدل العمل الكلي

(1/5) + (1/20) + (1/25) = معدل العمل الكلي

بتوحيد المقامات وجمع الكسور، نحصل على:

(5/25) + (1/20) + (1/25) = معدل العمل الكلي

(5 + 1 + 1) / 25 = 7/25

إذا، المعدل الكلي للعمل هو 7/25 من العمل في اليوم الواحد.

لحساب الوقت الذي يحتاجونه لإكمال العمل كله، يمكننا استخدام العلاقة التالية:

الزمن = العمل الكلي / المعدل الكلي

الزمن = 1 / (7/25)

بتحويل القسمة إلى ضرب، نحصل على:

الزمن = 25 / 7

إذا، يحتاجون إلى حوالي 3.57 أيام لإكمال العمل إذا عملوا جميعًا معًا.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد معدل أداء كل فرد ومن ثم استخدام معدل الأداء الكلي لحساب الزمن الذي يحتاجونه لإكمال العمل إذا عملوا معًا.

لنقوم بتحديد معدل أداء كل فرد:

1. الرجل:
   ينهي العمل في 5 أيام، لذا معدل أدائه هو 1/5 من العمل في اليوم.

2. والده:
   يحتاج 20 يومًا لإكمال العمل، لذا معدل أدائه هو 1/20 من العمل في اليوم.

3. الابن:
   ينهي العمل في 25 يومًا، لذا معدل أدائه هو 1/25 من العمل في اليوم.

ثم، سنجمع هذه المعدلات للحصول على معدل الأداء الكلي:

$معدل العمل الكلي = معدل الرجل + معدل والده + معدل الابن$

$معدل العمل الكلي = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{25}$

الآن، نقوم بحساب المعدل الكلي عند توحيد المقامات:

$معدل العمل الكلي = \frac{5}{25} + \frac{1}{20} + \frac{1}{25}$

$معدل العمل الكلي = \frac{5 + 1 + 1}{25}$

$معدل العمل الكلي = \frac{7}{25}$

الآن، لحساب الزمن الذي يحتاجونه لإكمال العمل كله معًا، نستخدم العلاقة:

$الزمن = \frac{العمل الكلي}{المعدل الكلي}$

$الزمن = \frac{1}{\frac{7}{25}}$

بتحويل القسمة إلى ضرب:

$الزمن = 1 \times \frac{25}{7}$

$الزمن = \frac{25}{7}$

إذا، يحتاجون إلى حوالي $\frac{25}{7}$ أيام لإكمال العمل إذا عملوا جميعًا معًا.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون معدل الأداء:
   معدل الأداء = العمل المنجز / الزمن المستغرق.
2. العلاقة بين الزمن ومعدل الأداء:
   الزمن = العمل المنجز / معدل الأداء.
3. جمع وتوحيد الكسور:
   لتسهيل الحسابات عند جمع كسور مختلفة.
4. ضرب الكسور:
   لتحويل عملية القسمة إلى عملية ضرب عند حساب الزمن.