حساب الخانة العشرية: مجموع الفواتير والتكرار (مسألة رياضيات)

ما هو الخانة العشرية لمجموع $1! + 2! + 3! + \cdots + 2006!$؟

لنحسب هذا المجموع. نبدأ بحساب قيمة كل عامل منفصلًا ثم نجمع الناتجات. سنحتاج إلى حساب قيمة كل عامل تجاوز الرقم 9 لمعرفة الخانة العشرية للمجموع. نلاحظ أن القيمة العددية للعوامل تزيد بسرعة ونجد صعوبة في حساب القيم بالكامل، ولكن يمكننا التركيز على الخانة العشرية لكل عامل.

بدأنا بالعوامل الأولى:

$1! = 1$

$2! = 2$

$3! = 6$

$4! = 24$

$5! = 120$

$6! = 720$

$7! = 5040$

$8! = 40320$

$9! = 362880$

هنا نلاحظ أنه بعد الرقم 4 تبدأ الخانة العشرية بالتكرار بين 0 و 0، وهذا يعني أن القيمة الكلية للأعداد بعد هذه النقطة لن تؤثر على الخانة العشرية.

نركز على الأعداد الأخيرة:

$10! = 3628800$

$11! = 39916800$

$12! = 479001600$

$13! = 6227020800$

$14! = 87178291200$

$15! = 1307674368000$

$16! = 20922789888000$

$17! = 355687428096000$

$18! = 6402373705728000$

$19! = 121645100408832000$

$20! = 2432902008176640000$

وهكذا نستمر في الحساب. بعد النظر في الأعداد الأخيرة، نجد أن الخانة العشرية لكل عامل يعود إلى 0 بعدما تصل للعامل 9!.

الآن، يمكننا حساب مجموع هذه الخانات العشرية:

$1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9!$ تساوي: $1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 5040 + 40320 + 362880 = 403791$

ونضيف المزيد:

$10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + 18! + 19! + 20!$ تساوي: $3628800 + 39916800 + 479001600 + 6227020800 + 87178291200 + 1307674368000 + 20922789888000 + 355687428096000 + 6402373705728000 + 121645100408832000 + 2432902008176640000 = 2662789191553331200$

الآن، بما أننا نريد الخانة العشرية فقط، نقوم بإزالة الأرقام الصحيحة:

$3331200$

إذا، الخانة العشرية للمجموع هي 0.

بالتالي، الخانة العشرية لمجموع $1! + 2! + 3! + \cdots + 2006!$ هي 0.

المزيد من المعلومات

إبداعات وتأثير أبي القاسم الشابي

انتخاب البابا: أسرار الفاتيكان