حساب الجمعيات الثنائية (مسألة رياضيات)

قيمة الرمز الثنائي $\dbinom{5}{3}$ تُعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة مكونة من ثلاثة عناصر من مجموعة مكونة من خمسة عناصر. لحساب هذا الرمز، نستخدم الصيغة التالية:
$\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n – k)!}$
حيث أن $n!$ تُمثل عاملي المضاعفة للعدد $n$ و $k!$ تُمثل عاملي المضاعفة للعدد $k$، و $(n – k)!$ تُمثل عاملي المضاعفة للفارق بين العددين.

لذا، نقوم بتطبيق هذه الصيغة كما يلي:
$\dbinom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5 – 3)!}$
$= \frac{5!}{3! \times 2!}$
$= \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!}$
$= \frac{5 \times 4}{2 \times 1}$
$= \frac{20}{2}$
$= 10$

إذاً، قيمة $\dbinom{5}{3}$ هي 10.

لحساب قيمة $\dbinom{5}{3}$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر المجرد ونظرية الجمعيات.

1. قانون العدد الطبيعي المضاعف: في الجبر المجرد، علامة التعجب تُمثل عاملي المضاعفة. لذا، إذا كان $n$ عددًا طبيعيًا، فإن $n!$ يمثل العدد الذي يتم الحصول عليه من ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$.

2. صيغة الجمعيات الثنائية: تُستخدم صيغة الجمعيات الثنائية $\dbinom{n}{k}$ لتمثيل عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة مكونة من $k$ عناصر من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر. صيغة هذه الجمعيات هي:
   $\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n – k)!}$

الآن، لحل المسألة:
نريد حساب قيمة $\dbinom{5}{3}$، وهي تمثل عدد الطرق لاختيار مجموعة تحتوي على 3 عناصر من بين 5 عناصر.

نطبق الصيغة كما يلي:

$\dbinom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5 – 3)!}$

هنا، $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$، و $3! = 3 \times 2 \times 1$، و $(5 – 3)! = 2! = 2 \times 1$.

بعد الإجراءات الحسابية، نحصل على:

$\dbinom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

لذا، هناك 10 طرق مختلفة لاختيار مجموعة تحتوي على 3 عناصر من بين 5 عناصر مختلفة.