حساب الثغرات والأسياخ في الدوال الكسرية (مسألة رياضيات)

المسألة:

في الرسم البياني للدالة $\frac{x^2+3x+2}{x^3+x^2-2x}$، لنكن $a$ عدد الثغرات في الرسم، ولنكن $b$ عدد الأسياخ الرأسية، ولنكن $c$ عدد الأسياخ الأفقية، ولنكن $d$ عدد الأسياخ المائلة. احسب $a+2b+3c+4d$.

الحل:

نبدأ بحساب الثغرات. الثغرات تحدث عندما يكون المقام والبسط يتقاطعان ويُمكن إلغاء جزء من الدالة. يمكننا حساب الثغرات عندما يكون المقام والبسط يكونان متقاطعين، أي:

$x^3+x^2-2x = 0$

نقوم بعاملة $x$ لنحصل على:

$x(x^2 + x – 2) = 0$

نجد أن الجذر $x=0$ يعطينا ثغرة وكذلك الجذرين $x=1$ و $x=-2$. لذا، $a=3$.

الآن، نتعامل مع الأسياخ الرأسية. الأسياخ الرأسية تحدث عندما يكون المقام يتساوى صفراً، أي:

$x^3+x^2-2x = 0$

نحل هذه المعادلة للحصول على الأسياخ الرأسية، ونجد أن $x=0$ و $x=1$ و $x=-2$. لكن لأن الثغرات تساوي صفراً أيضا، نحسب الأسياخ الرأسية مرتبطة بالمعادلة $x^2 + 3x + 2 = 0$ ونجد أن لدينا أيضا $x=-1$ و $x=-2$. لذا، $b=5$.

الأسياخ الأفقية تحدث عندما يكون الدالة لا تنحرف إلى لانهائي بينما $x$ يتجه إلى لانهائي. نراجع الدالة ونجد أن الدالة لديها درجة أعلى في المقام، لذا لا يوجد أسياخ أفقية. لذا، $c=0$.

أخيرًا، نتعامل مع الأسياخ المائلة. الأسياخ المائلة تحدث عندما يكون درجة البسط أعلى من درجة المقام بواحد. في هذه الحالة، لا يوجد أسياخ مائلة لأن درجة البسط والمقام متساويتان. لذا، $d=0$.

الآن نجمع النتائج:

$a + 2b + 3c + 4d = 3 + 2(5) + 3(0) + 4(0) = 13$

إذاً، $a + 2b + 3c + 4d = 13$.

حل المسألة:

نبدأ بحساب الثغرات. الثغرات تحدث عندما يكون المقام والبسط يتقاطعان، مما يسمح لنا بإلغاء جزء من الدالة. لحساب الثغرات، نجعل المقام والبسط يتساويان:

$x^3+x^2-2x = 0$

يمكننا العمل بالعوامل المشتركة، فنحصل على:

$x(x^2 + x – 2) = 0$

الحلول لهذه المعادلة هي $x=0$ و $x=1$ و $x=-2$، وهذه هي الثغرات في الدالة، لذا $a=3$.

الآن، نتعامل مع الأسياخ الرأسية. الأسياخ الرأسية تحدث عندما يكون المقام يتساوى صفرًا، أي:

$x^3+x^2-2x = 0$

نحل هذه المعادلة للحصول على الأسياخ الرأسية، ونجد أن $x=0$ و $x=1$ و $x=-2$ هي النقاط التي تحدث فيها أسياخ رأسية. لكن نلاحظ أيضاً أن الثغرات تساوي صفراً عند $x=0$، $x=1$، و $x=-2$، لذا نقوم بإضافة هذه النقاط أيضًا، وبالتالي $b=5$.

الأسياخ الأفقية تحدث عندما يكون الدالة لا تنحرف إلى لانهائي بينما $x$ يتجه إلى لانهائي. لكن عند مراجعة الدالة، نجد أن الدالة لديها درجة أعلى في المقام بمقدار وحدة مقارنة بالبسط، وهذا يعني أنه لا يوجد أسياخ أفقية. لذا $c=0$.

أخيرًا، نتعامل مع الأسياخ المائلة. الأسياخ المائلة تحدث عندما يكون درجة البسط أعلى من درجة المقام بواحد. في هذه الحالة، لا يوجد أسياخ مائلة لأن درجة البسط والمقام متساويتان. لذا $d=0$.

القوانين المستخدمة:

1. حساب الثغرات:
   نحسب النقاط التي يجتمع فيها المقام والبسط ونعتبرها ثغرات.

2. حساب الأسياخ الرأسية:
   نجعل المقام يتساوى صفراً ونحسب النقاط التي تحدث فيها أسياخ رأسية.

3. حساب الأسياخ الأفقية:
   نتحقق من درجات المقام والبسط لتحديد وجود أسياخ أفقية، وهنا لا يوجد.

4. حساب الأسياخ المائلة:
   نتحقق من درجات المقام والبسط لتحديد وجود أسياخ مائلة، وهنا لا يوجد.

الناتج النهائي:

$a + 2b + 3c + 4d = 3 + 2(5) + 3(0) + 4(0) = 13$

إذاً، $a + 2b + 3c + 4d = 13$.