حساب التعبيرات الكبيرة modulo 6 (مسألة رياضيات)

حسنًا، لنقم بحساب $35^{1723} – 16^{1723}$ بناءً على قاعدة التقسيم في الحسابات اللفظية.

لحساب القيمة المطلوبة، سنقوم بتقسيم التراكيب إلى أقسام أصغر ومن ثم حساب الباقي بالتسلسل. نبدأ بحساب $35^{1723}$ و $16^{1723}$ للعثور على القيم المتبقية.

أولاً، لنحسب $35^{1723}$:
$35^{1723} = (36 – 1)^{1723}$
نستخدم تمثيل الثنائي لتوسيع القوة:
$= \binom{1723}{0}36^{1723} – \binom{1723}{1}36^{1722} + \binom{1723}{2}36^{1721} – \ldots – \binom{1723}{1722}36^1 + \binom{1723}{1723}(-1)^{1723}$
نقوم بحساب الباقي عند قسمة كل ترم في العدد 6 لتبسيط الحساب. لاحظ أن جميع الأعداد في التوسيع سيكون لديها قوة أكبر من 1، وبالتالي سيكون لها باقي 0 عند القسمة على 6.

الآن، لنحسب $16^{1723}$:
$16^{1723} = (2^4)^{1723} = 2^{6892}$
وبناءً على قاعدة القوة، نعلم أنه يمكن تقسيم القوة على 4 بدون تأثير على الباقي. لذا:
$2^{6892} \equiv 2^0 \equiv 1 \pmod{6}$

بالتالي، نحصل على:
$35^{1723} – 16^{1723} \equiv 0 – 1 \equiv -1 \equiv 5 \pmod{6}$

إذاً، القيمة المطلوبة للتعبير $35^{1723} – 16^{1723}$ modulo 6 هي 5.

لحساب $35^{1723} – 16^{1723}$ modulo 6، سنستخدم عدة قوانين وتقنيات حسابية. دعونا نلقي نظرة أعمق على الحسابات:

1. قوانين الأسس:

   • نبدأ بتحليل $35^{1723}$ باستخدام قاعدة الأس: $a^{mn} = (a^m)^n$. لدينا $35 = 36 – 1$. يمكننا استخدام هذا لتبسيط الترم الأول:
     $35^{1723} = (36 – 1)^{1723}$
   • ثم نستخدم توسيع بنوميال (التوسيع اللفظي) باستخدام الثنائي:
     $= \binom{1723}{0}36^{1723} – \binom{1723}{1}36^{1722} + \binom{1723}{2}36^{1721} – \ldots – \binom{1723}{1722}36^1 + \binom{1723}{1723}(-1)^{1723}$

2. قاعدة التوسيع الثنائي:

   • في التوسيع الثنائي، نستخدم الأعداد 0 و 1 فقط، مما يسهل حساب الباقي عند القسمة.

3. قاعدة القوة:

   • نستخدم قاعدة القوة لحساب $16^{1723}$، حيث أن $16 = 2^4$:
     $16^{1723} = (2^4)^{1723} = 2^{6892}$

4. قاعدة القسمة:

   • نقوم بحساب الباقي عند القسمة على 6 لتبسيط الحساب، حيث أننا نريد الحساب modulo 6.

5. جمع وطرح الأعداد modulo:

   • نستخدم قاعدة جمع وطرح الأعداد modulo لحساب الناتج النهائي.

باستخدام هذه القوانين والتقنيات، يمكننا حساب $35^{1723} – 16^{1723}$ modulo 6. العملية تعتمد على تقسيم التعابير إلى أجزاء صغيرة وحساب الباقي لكل جزء، مما يساعد في تبسيط الحسابات وتقليل الأخطاء.