حساب التبديل للقطاعين والجبر الخطي (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 \ -2 \ 4 \end{pmatrix},$ فإن $(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ يمكن حسابها كما يلي:

لنقم بتوسيع العبارة $(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ باستخدام توزيع الضرب على النحو التالي:

$(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{v} \times \mathbf{v} + \mathbf{v} \times \mathbf{w} + \mathbf{w} \times \mathbf{v} + \mathbf{w} \times \mathbf{w}.$

ومن المعروف أن عملية الربط للقطاعين (Cross Product) تكون صفراً عندما يكون القطاعان متجاوبين (parallel). إذاً، $\mathbf{v} \times \mathbf{v}$ و $\mathbf{w} \times \mathbf{w}$ ستكون صفريتين. لذا، يمكننا التقليص العبارة إلى:

\begin{split} (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= \mathbf{v} \times \mathbf{w} + \mathbf{w} \times \mathbf{v} \\ &= \mathbf{v} \times \mathbf{w} – \mathbf{v} \times \mathbf{w} \quad (\text{لأن الربط للقطاعين هو العكس}) \\ &= \mathbf{0}. \end{split}

إذاً، نتوصل إلى أن $(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{0}.$

بالطبع، دعونا نقوم بحساب $(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ بتفصيل أكبر، مستخدمين قوانين عملية الربط للقطاعين (Cross Product) وقوانين الجبر الخطي.

لدينا المتجهات:
$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}.$

ونريد حساب $(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}).$

لنبدأ بتوسيع هذه العبارة باستخدام توزيع الضرب:

\begin{split} (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times \mathbf{v} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \times \mathbf{v} + \mathbf{w} \times \mathbf{v} + \mathbf{v} \times \mathbf{w} + \mathbf{w} \times \mathbf{w}. \end{split}

الآن، قد نستفيد من حقيقة أن عملية الربط للقطاعين هي منتقاة، أي $\mathbf{v} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$ و$\mathbf{w} \times \mathbf{w} = \mathbf{0}.$

بالتالي، العبارة تتبسط إلى:

\begin{split} (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= \mathbf{w} \times \mathbf{v} + \mathbf{v} \times \mathbf{w} \\ &= – (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) + (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \quad (\text{لأن } \mathbf{w} \times \mathbf{v} = -\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{0}. \end{split}

هنا، قمنا باستخدام قوانين الجبر الخطي وخاصة قوانين الربط للقطاعين لتبسيط العبارة.