حساب الباقي لسلسلة رياضية متناوبة (مسألة رياضيات)

المسألة:
تحديد باقي جمع $S = 1 – 2 + 3 – 4 + \cdots + 2009 – 2010$ عند قسمته على 2010.

الحل:
لحل هذه المسألة، سنقوم بتجميع الأعداد بشكل تدريجي ونحسب الباقي عند قسمة الناتج على 2010 في كل خطوة. نبدأ بتجميع الأعداد:

$S = (1 – 2) + (3 – 4) + \cdots + (2009 – 2010)$

نقوم بتجميع الأعداد في القوسين:

$S = -1 – 1 – \cdots – 1$

حيث يوجد لدينا 1005 عدد -1، لأن هناك 1005 زوج من الأعداد في المجموع. الآن نقوم بحساب الناتج ونجد الباقي عند قسمته على 2010:

$S = -1005$

وبما أننا نقوم بقسمة $S$ على 2010، فإن الباقي سيكون هو الناتج الذي حصلنا عليه:

$S \equiv -1005 \pmod{2010}$

إذاً، باقي جمع السلسلة عند قسمته على 2010 هو -1005.

بالطبع، سأقدم تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

لنقم بفحص تسلسل الأعداد المعطى:

$S = 1 – 2 + 3 – 4 + \cdots + 2009 – 2010$

هنا، نرى أن الأعداد تتناوب بين إيجابية وسلبية. يمكن تجميع الأعداد بأزواج باستخدام خواص الجمع والطرح:

$S = (1 – 2) + (3 – 4) + \cdots + (2009 – 2010)$

هذا يؤدي إلى:

$S = -1 -1 – \cdots -1$

عدد الأعداد السالبة هو عدد الأعداد في السلسلة مقسوماً على 2. في هذه الحالة، لدينا 2010 عدد، لذا عدد الأعداد السالبة هو $\frac{2010}{2} = 1005$.

القاعدة الأساسية المستخدمة هي خاصية تجميع الأعداد بشكل متناوب، وبالتحديد استخدام خواص الجمع والطرح لتجميعها بشكل فعال.

الآن، بالنظر إلى قاعدة القسمة، يمكننا القول إن:

$S \equiv -1005 \pmod{2010}$

هنا، قمنا بتقسيم الناتج على 2010 وحسبنا الباقي، وهو -1005.

إذاً، القوانين المستخدمة تشمل:

1. خاصية تجميع الأعداد المتناوبة: استخدمنا هذه الخاصية لتجميع الأعداد بشكل فعال.
2. قاعدة القسمة في الحساب الوحيد (modulus arithmetic): استخدمنا هذه القاعدة لحساب الباقي عند القسمة.

هذه القوانين الأساسية ساعدتنا في فهم السلسلة وحساب الباقي بشكل صحيح.