حساب الباقي عند قسمة عدد كبير على 45 (مسألة رياضيات)

العدد $N=123456789101112\dots4344$ يتألف من تسلسل الأعداد من 1 إلى 44، حيث يتكون من 79 خانة. لنحسب الباقي عند قسمة $N$ على 45.

لنرى أولاً ما إذا كان يمكننا تبسيط العملية باستخدام القواعد الحسابية. قسمة أي عدد على 45 تعني البحث عن الباقي عند القسمة على 45. يمكننا تجاهل الأرقام العشرية لأنها لن تؤثر على الباقي.

لحساب الباقي، يمكننا تجميع الأعداد معاً وبالتالي نرى أن العدد يتكون من:

$12 + 34 + 56 + \dots + 42 + 43 + 44$

نلاحظ أن الأعداد يمكن تجميعها إلى أزواج حيث يكون مجموع كل زوج 55. إذاً، عدد الأزواج هو $79 \div 2 = 39$ زوج.

كل زوج يساوي 55، ولكن هناك عدد واحد 22 في النهاية. إذاً، مجموع الأعداد يكون:

$39 \times 55 + 22 = 2145$

الآن، لحساب الباقي عند القسمة على 45، نجمع الأعداد الذي تم تجميعها معاً:

$2145 \equiv 15 \pmod{45}$

إذاً، الباقي عند قسمة $N$ على 45 هو 15.

الإجابة الصحيحة هي $\boxed{\text{(C)}\ 9}$.

في هذه المسألة، نحتاج إلى حساب الباقي عند قسم عدد كبير مكوَّن من تسلسل من الأعداد على عدد صغير، وهو 45.

لحل المسألة، سنستخدم عدة خطوات:

1. تجميع الأعداد في تسلسل الأرقام: نضع جميع الأعداد في تسلسلها المعتاد من 1 إلى 44 لنحصل على العدد الكبير $N$.

2. قواعد القسمة على 45: نستخدم قاعدة القسمة على 45، حيث يكون العدد قابل للقسمة على 45 إذا كان مجموع أرقامه قابل للقسمة على 45.

3. تطبيق القسمة وحساب الباقي: نجمع جميع الأعداد في التسلسل معًا ونحسب الباقي عند قسم هذا المجموع على 45.

الآن، دعونا نطبق هذه الخطوات:

1. تجميع الأعداد: نقوم بجمع الأعداد معًا بالترتيب من 1 إلى 44.

2. قواعد القسمة على 45: قاعدة القسمة تقول إنه إذا كان مجموع أرقام العدد قابل للقسمة على 45، فإن العدد نفسه قابل للقسمة على 45.

3. تطبيق القسمة وحساب الباقي: بعد جمع الأرقام، نقوم بقسم المجموع على 45 ونحسب الباقي.

للتوضيح، قمنا بجمع الأعداد من 1 إلى 44 للحصول على:

$N = 1 + 2 + 3 + \dots + 44$

ومن ثم حساب مجموع الأعداد الكامل، وقسمناه على 45 لنحصل على الباقي.

في النهاية، نجد أن الباقي هو 15.

باستخدام القوانين الحسابية الأساسية، نجد أنه من الممكن تجميع الأعداد وحساب الباقي بسهولة، مما يوفر وقتًا وجهدًا في حل المسألة.

بهذا، نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين الحسابية الأساسية والترتيب المناسب للعمليات الحسابية، مما أتاح لنا الوصول إلى الإجابة بدقة وفعالية.