حساب الاختيارات الفريدة: معامل الاختيار في الرياضيات (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التالي:
$\dbinom{14}{11}$

حل المسألة:
$\dbinom{14}{11} = \frac{14!}{11!(14-11)!}$

$= \frac{14!}{11!3!}$

$= \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11!}{11! \times 3 \times 2 \times 1}$

$= \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1}$

$= \frac{2184}{6}$

$= 364$

لذا، قيمة $\dbinom{14}{11}$ هي 364.

لحساب قيمة $\dbinom{14}{11}$ (وهي عبارة عن عدد الطرق لاختيار مجموعة من 11 عنصرًا من بين 14 عنصرًا)، نستخدم القانون العام لمعامل الاختيار المتناظر، والذي يُعرف بالرمز “$n$ choose $r$”، ويُمثل بالصيغة التالية:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث:

• $n!$ تمثل عامل الترتيب أو العامليّة للعدد $n$ وهو يعبر عن عدد الطرق الممكنة لترتيب $n$ عناصر.
• $r!$ تمثل عامل الترتيب للعدد $r$.
• $(n-r)!$ تمثل عامل الترتيب للعدد $(n-r)$.

بما أننا نريد اختيار 11 عنصرًا من بين 14، فإننا نستخدم الصيغة كما يلي:

$\binom{14}{11} = \frac{14!}{11!(14-11)!}$

الآن، سنقوم بتطبيق القوانين الحسابية على هذه الصيغة للوصول إلى الإجابة:

• نبدأ بحساب $14!$، وهو عبارة عن ضرب جميع الأعداد من 1 إلى 14.
• ثم نقوم بحساب $11!$ و $(14-11)!$ (أو $3!$)، حيث نقوم بضرب جميع الأعداد من 1 إلى 11، ومن 1 إلى 3 على التوالي.
• نقوم بتقسيم ناتج $14!$ على حاصل ضرب $11! \times 3!$.

تتبع العملية الحسابية كالتالي:
$\binom{14}{11} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11!}{11! \times 3 \times 2 \times 1}$

ثم نقوم بإلغاء العوامل المتكررة في البسط والمقام:
$= \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1}$

ثم نقوم بالتبسيط:
$= \frac{2184}{6}$

والذي يساوي:
$= 364$

لذا، الإجابة النهائية هي 364.

تستند القوانين المستخدمة في الحل إلى قوانين الجبر والمثلث الحسابي، وهي قوانين أساسية في الرياضيات تستخدم لحل مسائل الاحتمالات والترتيبات.