حساب الاحتمالات في المسائل الرياضية (مسألة رياضيات)

يحتوي الحقيبة على 3 رقائق لون تان، و2 رقائق لون وردي، و4 رقائق لون بنفسجي. إذا تم سحب X رقائق عشوائيًا من الحقيبة، واحدة تلو الأخرى ودون استبدال، فما هي احتمالية أن تتم سحب الرقائق بحيث يتم سحب الرقائق الثلاثة التان أو الرقائق الوردية المتتالية، والرقائق الأربعة البنفسجية المتتالية، ولكن ليس بالضرورة بالترتيب التان-وردي-بنفسجي؟

لنحسب عدد الطرق الممكنة لسحب الرقائق بحيث تتم الشروط المحددة:

1. الرقائق التان: يمكن سحبها بـ 3 طرق متتالية.
2. الرقائق الوردية: يمكن سحبها بـ 2 طرق متتالية.
3. الرقائق البنفسجية: يمكن سحبها بـ 4 طرق متتالية.

مجموع الطرق الممكنة لسحب الرقائق هو 3! × 2! × 4! = 6 × 2 × 24 = 288.

الآن، إذا كانت احتمالية حدوث هذا الحدث مساوية لـ 1/210، فإننا نحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكننا بها سحب الرقائق بشكل صحيح.

الاحتمالية محددة بالعلاقة:
$\frac{عدد \: الطرق \: الصحيحة}{مجموع \: الطرق \: الممكنة} = \frac{1}{210}$

إذاً:
$\frac{عدد \: الطرق \: الصحيحة}{288} = \frac{1}{210}$

من هنا، نقوم بحساب العدد الصحيح للطرق التي يمكن بها سحب الرقائق بشكل صحيح:
$عدد \: الطرق \: الصحيحة = 288 \times \frac{1}{210} = \frac{288}{210}$

الآن نقوم بتبسيط الكسر:
$\frac{288}{210} = \frac{144}{105} = \frac{24 \times 6}{15 \times 7} = \frac{4 \times 6}{5 \times 7}$

إذاً، عدد الطرق الصحيحة لسحب الرقائق هو 24.

بالتالي، قيمة المتغير المجهول X هي 24.

لحل المسألة المذكورة، نحتاج إلى فهم القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة والتي تشمل:

1. قانون الاحتمالات:
   هو قاعدة تستخدم لحساب احتمالات حدوث حالات معينة من بين مجموعة محددة من الحالات الممكنة.

2. قانون الاحتمالات للأحداث المستقلة:
   عندما تكون الأحداث مستقلة، يمكننا حساب احتمال حدوثها بضرب احتمالات الأحداث الفردية معًا.

3. العدد الكبير:
   لو كانت الأحداث معقدة ويصعب حساب احتمالها مباشرة، يمكننا استخدام العدد الكبير للحصول على الإجابة بسرعة.

الخطوات الرئيسية لحل المسألة هي:

أولاً، نحسب عدد الطرق الممكنة لسحب الرقائق بحيث تتم الشروط المحددة، وهي:

• سحب الرقائق التان بشكل متتالٍ (3 طرق)
• سحب الرقائق الوردية بشكل متتالٍ (2 طرق)
• سحب الرقائق البنفسجية بشكل متتالٍ (4 طرق)

نحسب المجموع الإجمالي للطرق الممكنة بضرب هذه الأعداد معًا: 3! × 2! × 4! = 288.

ثانيًا، نستخدم قانون الاحتمالات لحساب الاحتمالية، حيث نعرف أنها تساوي 1/210.

ثالثًا، نستخدم العلاقة بين الطرق الصحيحة والاحتمالية لحساب عدد الطرق الصحيحة.

نقوم بالحساب كالتالي:
$عدد \: الطرق \: الصحيحة = 288 \times \frac{1}{210}$

نبسط الكسر ونحسب النتيجة لنحصل على عدد الطرق الصحيحة لسحب الرقائق.

أخيرًا، نحسب قيمة المتغير المجهول X الذي يمثل عدد الرقائق المسحوبة بالطريقة الصحيحة.

بهذه الطريقة، نتمكن من حساب الإجابة بدقة وفهم العمليات الرياضية التي تقف وراء الحل.