حساب الأعداد بعدد فردي من العوام (مسألة رياضيات)

كم عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية المكونة من رقمين والتي تمتلك عدداً فردياً من الأعوام الإيجابية؟

لنحل هذه المسألة بطريقة منهجية. لنبدأ بتحديد متى يكون للعدد عدد فردي من العوام. إذا كان العدد عبارة عن مربع لعددٍ ما (مربع كامل)، فإن عدد العوام يكون فردياً، لأنه يمكن تمثيل عدد العوام على شكل (2n + 1) حيث n هو عدد الأعوام السالبة.

مع ذلك، يجب ملاحظة أن هذا الشرط يتحقق عندما يكون العدد مربعاً لعدد صحيح فقط، أي عندما يكون العدد مربعًا تامًا. ولتحديد الأعداد التي تستوفي هذا الشرط، يجب أن نركز على الأعداد الأولية للمربعات، وهي الأعداد 1، 4، 9، 16، وهكذا.

للعثور على عدد الأعداد التي تمتلك عدد فردي من الأعوام، نحتاج إلى تحديد كم عدد من الأعداد الصحيحة بين 10 و 99 هي مربعاً لعدد صحيح. تحتوي هذه الفترة على الأعداد: 16، 25، 36، 49، 64، 81. لذا هناك 6 أعداد فقط.

والآن، نحن بحاجة للبحث عن الأعداد التي ليست مربعاً لعدد صحيح ولكن لديها عدد فردي من العوام. إذاً، يجب أن نبحث عن الأعداد التي تكون مركبة وتملك عدد فردي من الأعوام.

عندما يكون العدد مركباً، فإنه يكون عبارة عن المنتج الخارجي لعددين على الأقل. وعندما يكون لدينا عدد فردي من العوام، فإن كل عام يأتي من عاملين. بمعنى آخر، يجب أن يكون للعدد عدد زوجي من العوام.

لنبدأ بتحديد الأعداد المركبة بين 10 و 99. هذه الأعداد هي الأعداد غير الأولية، بمعنى أنها ليست أرقاما أولية. لنفحص كل عدد من هذه الأعداد ونحسب عدد العوام لكل منها. سنجد أن الأعداد المركبة في هذا النطاق هي: 10، 12، 14، …، 99.

لتحديد عدد العوام لكل عدد مركب، يمكننا فحص العوام بطريقة متسلسلة. على سبيل المثال، للعدد 10، لدينا العوام: 1 و 2 و 5 و 10، وهي عدد زوجي من الأعوام. لذا، هذا العدد لا ينطبق عليه شرط السؤال.

نستمر بهذه الطريقة في فحص كل الأعداد المركبة وتحديد عدد العوام لكل منها. من خلال هذه العملية، سنجد عدد الأعداد التي تحتوي على عدد فردي من العوام.

بمجموعة الأعداد المركبة من 10 إلى 99، سنجد عدد الأعوام لكل عدد. ومن خلال عد الأعوام، سنتمكن من تحديد الأعداد التي تحتوي على عدد فردي من العوام. الناتج سيكون الإجابة على السؤال.

بالتالي، يمكننا القول إن العدد الإجمالي للأعداد الإيجابية من رقمين التي تمتلك عدد فردي من العوام هو الناتج النهائي لجمع عدد المربعات الصحيحة والأعداد المركبة التي تحتوي على عدد فردي من العوام.

لحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، يمكننا استخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية الأساسية، مثل قوانين عدد العوام وخصائص الأعداد الأولية.

1. قانون عدد العوام: إذا كان لدى عدد صحيح مربعي عدد فردي من العوام، فإن ذلك العدد يكون مربعًا تامًا. والعكس صحيح أيضًا، أي أن كل عدد مربعي تام يحتوي على عدد فردي من العوام.

2. عدد العوام للأعداد الأولية: للأعداد الأولية، عدد العوام هو 2، لأنها تقبل فقط عامين (1 والعدد نفسه) بمجموع 2.

3. تحليل الأعداد المركبة: لتحديد ما إذا كان للعدد المركب عدد فردي من العوام، يجب تحليله إلى عوامله الأولية وحساب عدد العوام لكل عامل.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

أولاً، نحدد الأعداد المربعية التامة بين 10 و 99. هذه الأعداد هي الأعداد التي يكون جذرها التربيعي عددًا صحيحًا. نجد أن الأعداد المربعية التامة في هذا النطاق هي 16، 25، 36، 49، 64، 81، بمجموع 6 أعداد.

ثانيًا، نحتاج إلى تحليل الأعداد المركبة بين 10 و 99 لمعرفة عدد العوام لكل منها. عند تحليل كل عدد مركب، نبدأ بالبحث عن العوامل الأولية للعدد ونحسب عدد العوام لكل عامل.

على سبيل المثال:

• للعدد 10، العوامل هي 2 و 5، وعدد العوام هو 4.
• للعدد 12، العوامل هي 2 و 3، وعدد العوام هو 6.

وهكذا، نقوم بتحليل كل الأعداد المركبة وحساب عدد العوام لكل منها.

أخيرًا، بعد حساب عدد العوام لكل الأعداد المركبة، نحسب عدد الأعداد التي تحتوي على عدد فردي من العوام. بعد ذلك، نجمع هذا العدد مع عدد الأعداد المربعية التامة للحصول على إجمالي عدد الأعداد التي تمتلك عدد فردي من العوام.

هذا هو الطريقة التفصيلية لحل المسألة باستخدام القوانين الرياضية المذكورة أعلاه.