حساب الأعداد القابلة للقسمة على 45 (مسألة رياضيات)

كم عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية من أربعة أرقام من الشكل $__45$ التي يمكن قسمتها على 45؟

لحل هذه المسألة، يجب أن نفحص الشروط التي يجب أن تتحقق لتكون الأعداد مقسومة على 45. القاعدة الأساسية هي أن العدد يجب أن يكون مقسومًا على 9 ومقسومًا على 5.

أولاً، للتحقق مما إذا كانت الأعداد مقسومة على 5، يجب أن تكون الآخرتان (الخانتان الأخيرتان) متساويتين بـ 0 أو 5.

ثانياً، للتحقق مما إذا كانت الأعداد مقسومة على 9، يجب أن يكون مجموع الأرقام في العدد مقسومًا على 9.

نبدأ بالبحث عن الأعداد التي تنطبق على هذه الشروط.

أولاً، للأعداد من الشكل $__45$، لاحظ أن الخانة الأولى لديها خيارات من 1 إلى 9، والخانة الثانية لديها 10 خيارات (0 إلى 9)، والخانة الثالثة لديها 10 خيارات أيضًا، لأنه يمكن أن تكون أي رقم.

بدايةً، لنتحقق من شروط القسمة على 5. يجب أن تكون الخانتان الأخيرتان 0 أو 5. لذلك هناك 2 خيارات لكل منهما.

بالنسبة للخانة الثانية والثالثة، يمكن أن تكون أي رقم من 0 إلى 9، لذلك هناك 10 خيارات لكل واحدة منهما.

بالتالي، عدد الأعداد الممكنة التي تتوافق مع شرط القسمة على 5 هو: $2 \times 10 \times 10 = 200$.

ثم، نتحقق من شرط القسمة على 9. يجب أن يكون مجموع الأرقام في العدد مقسومًا على 9.

للخانة الأولى، هناك 9 خيارات (1 إلى 9)، وللخانة الثانية هناك 10 خيارات (0 إلى 9)، وللخانة الثالثة هناك 10 خيارات أيضًا.

بالتالي، هناك $9 \times 10 \times 10 = 900$ ناتج ممكن لمجموع الأرقام.

لكن نحتاج أيضًا إلى التأكد من أن الرقم الناتج يمكن قسمته على 9. هذا يعني أننا بحاجة إلى البحث عن الأعداد التي تحقق الشرط:

$9a + b + 4 + 5 \equiv 0 \pmod{9}$

حيث $a$ و $b$ هما الأرقام في الخانتين الأولى والثانية على التوالي.

نلاحظ أن القيمة الثابتة 9 لا تؤثر على العدد ولا تؤثر على قابلية القسمة على 9، لذلك يمكننا تجاهلها في الحساب.

لذلك نحتاج فقط إلى التأكد من أن $b + 4 + 5$ قابلة للقسمة على 9.

إذاً، يجب أن يكون $b + 9$ مقسومًا على 9، مما يعني أن $b$ يمكن أن تكون إحدى القيم التالية: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8.

إذاً، هناك 9 خيارات للقيمة $b$ التي تناسب الشرط.

إذاً، إجمالاً، هناك $9 \times 10 \times 9 = 810$ عدد يتوافق مع شرط القسمة على 9.

الآن، لحساب الأعداد التي تتوافق مع كلا الشروط (القسمة على 5 والقسمة على 9)، نقوم بضرب عدد الأعداد التي تتوافق مع كل من الشروط:

$200 \times 810 = 162000$

لذلك، هناك 162000 عدد موجب من أربعة أرقام من الشكل $__45$ التي يمكن قسمتها على 45.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة قوانين في الحساب العددي، بما في ذلك قوانين القسمة والمتطابقة مع القواعد التي تحدد قابلية الأعداد للقسمة على أرقام معينة.

قبل أن نستعرض القوانين، دعنا نفهم الشروط التي يجب أن تتوافق معها الأعداد لكي تكون قابلة للقسمة على 45:

1. يجب أن تكون قابلة للقسمة على 9.
2. يجب أن تكون قابلة للقسمة على 5.

الآن دعنا نستعرض الخطوات التي نتبعها لحساب الأعداد المطلوبة:

1. التحقق من قابلية الأعداد للقسمة على 5: نبدأ بالتحقق من الأعداد التي يمكن أن تكون آخر رقمين فيها (الرقمان الأخيران) قابلة للقسمة على 5، وهما 0 و 5.

2. التحقق من قابلية الأعداد للقسمة على 9: بما أننا نبحث عن أعداد من أربعة أرقام، فإننا نحتاج إلى التحقق من مجموع الأرقام في كل عدد والتأكد من أنه قابل للقسمة على 9.

3. حساب الأعداد الممكنة: بعد التحقق من الشروط السابقة، نقوم بحساب عدد الأعداد التي تلبي هذه الشروط.

الآن، دعونا نتابع معاً باستخدام هذه الخطوات لحساب الأعداد المطلوبة:

1. التحقق من قابلية الأعداد للقسمة على 5:

   • الأعداد التي تنتهي بـ 45 يجب أن تكون قابلة للقسمة على 5. وبما أن الرقم الأخير يمكن أن يكون 0 أو 5، فإن الاختيارات الممكنة هي 0 و 5.

2. التحقق من قابلية الأعداد للقسمة على 9:

   • نحتاج إلى التحقق من مجموع الأرقام في كل عدد والتأكد من أنه قابل للقسمة على 9.

3. حساب الأعداد الممكنة:

   • بعد التحقق من الشروط، نقوم بحساب عدد الأعداد التي تلبي هذه الشروط.

يتبع الحساب الفعلي لعدد الأعداد المطلوبة وفق الشروط المذكورة في الخطوات السابقة. لذا، يتطلب ذلك عملية حسابية معقدة وطويلة لتحديد الأعداد الصحيحة التي تلبي المتطلبات.

باستخدام القوانين المذكورة والتحليل المطلوب، يمكننا إيجاد العدد النهائي للأعداد الصحيحة من هذا النوع بدقة.