حساب الأسس والأرقام الواحدة: تحليل مسألة حسابية (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة $x$ تساوي $27^{324}$ وقيمة $y$ تساوي $3^{134}$، فما هو الرقم الواحد للناتج $\frac{x}{y}$؟

الحل:
لحساب الناتج $\frac{x}{y}$، يمكننا استخدام خاصية الأسس لتبسيط العملية. لنقم بذلك، نستعرض القوانين التي تنطبق على الأسس:

$a^{mn} = (a^m)^n$

في هذه المسألة، لدينا $x = 27^{324}$ و $y = 3^{134}$. يمكننا تبسيط قيمة $x$ كما يلي:

$27^{324} = (3^3)^{324} = 3^{972}$

الآن، نقوم بحساب الناتج $\frac{x}{y}$ كالتالي:

$\frac{x}{y} = \frac{3^{972}}{3^{134}}$

باستخدام قاعدة الأسس التي تقول $a^m \div a^n = a^{m-n}$، يمكننا دمج الأسس:

$\frac{x}{y} = 3^{972 – 134} = 3^{838}$

الآن، للعثور على الرقم الواحد في هذا الناتج، نستخدم فقط الرقم الواحد في الأس العلوي (838). وبما أن الرقم الواحد للأس 3 هو 3، إذاً الرقم الواحد للناتج $\frac{x}{y}$ هو 3.

بالطبع، سنقوم بتفصيل أكثر في حل المسألة وذلك باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالأسس. لنبدأ بتحليل القيم:

لدينا $x = 27^{324}$ و $y = 3^{134}$. نستطيع تعبير $27$ على أنه مكعب $3$، لأن $27 = 3^3$. لذا، يمكننا إعادة صياغة $x$ كالتالي:

$x = (3^3)^{324} = 3^{3 \times 324} = 3^{972}$

الآن، يمكننا استخدام هذا التعبير لحساب $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{3^{972}}{3^{134}}$

وفي هذه المرحلة، نستفيد من قاعدة الأسس $a^m \div a^n = a^{m-n}$ لجمع الأسس:

$\frac{x}{y} = 3^{972 – 134} = 3^{838}$

الآن، نحتاج إلى العثور على الرقم الواحد في الأس $838$. هنا يأتي دور قاعدة أخرى تقول $a^b \mod c = a^{(b \mod \phi(c))}$، حيث $\phi(c)$ هو دالة الأوفيلر الصغرى. في حالتنا، $\phi(10) = 4$ لأن الأعداد الزوجية (2 و 4 و 6 و 8) تقلل من القيمة المتاحة.

لذا، نقوم بحساب $838 \mod 4$ ونجد أن الباقي هو 2. الآن، نقوم برفع الرقم 3 إلى القوة 2:

$3^2 \mod 10 = 9$

لذا، الرقم الواحد للناتج $\frac{x}{y}$ هو 9.