حساب الأبعاد المثلى للصندوق المربع (مسألة رياضيات)

لدينا ليزا تقوم بإنشاء صندوق من الورق المقوى بقواعد مربعة، وترغب في أن يكون ارتفاع الصندوق 3 وحدات أكثر من طول جوانب القاعدة المربعة. إذا كانت ترغب في تقليل كمية الورق المستخدمة وفي الوقت نفسه ضمان أن مساحة سطح الصندوق تكون على الأقل 90 وحدة مربعة، فما هو الارتفاع الذي يجب أن يكون؟

لحساب ذلك، دعونا نفترض أن طول ضلع القاعدة المربعة هو “س”. إذا كان الارتفاع يكون “س + 3″، يمكننا بناء معادلة لمساحة سطح الصندوق. مساحة سطح الصندوق هي مجموع مساحتي قاعدتيه (قاعدتين مربعتين) بالإضافة إلى المساحة الجانبية.

المساحة السطحية للصندوق = 2(س^2) + 4س(س + 3)

الآن، لدينا معادلة للمساحة السطحية. ولكي يكون سطح الصندوق على الأقل 90 وحدة مربعة، يجب أن تكون المعادلة كالتالي:

2(س^2) + 4س(س + 3) ≥ 90

الآن، دعونا نحل هذه المعادلة. أولاً، نقوم بتوسيع العبارة وترتيبها:

2س^2 + 4س^2 + 12س – 90 ≥ 0

ثم نجمع المصطلحات المماثلة:

6س^2 + 12س – 90 ≥ 0

الآن، يمكننا تبسيط المعادلة بقسمة كل جانب على 6:

س^2 + 2س – 15 ≥ 0

الآن، نحل المعادلة الرباعية باستخدام العوامل:

(س + 5)(س – 3) ≥ 0

هنا يكون لدينا حلين للمعادلة، إما أن يكون (س + 5) ≥ 0 أو (س – 3) ≥ 0. لكننا نريد أن يكون الس طولاً إيجابياً، لذا نستبعد (س – 3) ≥ 0 لأنه سيعطي قيمة سلبية للطول.

لذلك، نأخذ (س + 5) ≥ 0، ونحصل على:

س ≥ -5

الطول يجب أن يكون أكبر من أو يساوي -5 وبما أننا نتعامل مع الطول، فإن القيمة الأدنى الممكنة للطول هي صفر.

للتأكد، دعونا نستخدم القيمة الأدنى للطول (س = 0) في المعادلة الأصلية لنحسب الارتفاع:

الارتفاع = س + 3
الارتفاع = 0 + 3
الارتفاع = 3

إذاً، يجب أن يكون ارتفاع الصندوق على الأقل 3 وحدات.

في هذه المسألة، قمنا بحساب الارتفاع المثلى للصندوق الذي يحتوي على قاعدة مربعة بحيث يكون سطح الصندوق على الأقل 90 وحدة مربعة، وذلك باستخدام مفهوم السطح والمعادلات الرياضية.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. مساحة سطح الصندوق:
   استخدمنا مفهوم مساحة سطح الصندوق، والذي يتكون من مساحتي القاعدتين (قاعدتين مربعتين) بالإضافة إلى المساحة الجانبية.

2. التعبير الرياضي لمساحة سطح الصندوق:
   استخدمنا المعادلة 2(س^2) + 4س(س + 3) لتمثيل مساحة سطح الصندوق، حيث “س” هو طول ضلع القاعدة المربعة.

3. تحديد شروط الحد الأدنى:
   حددنا أن مساحة سطح الصندوق يجب أن تكون على الأقل 90 وحدة مربعة، مما أدى إلى المعادلة 2(س^2) + 4س(س + 3) ≥ 90.

4. حساب القيم الممكنة للطول:
   استخدمنا الجبر وعمليات التوسيع والتبسيط لحساب القيم الممكنة لطول ضلع القاعدة.

5. حل المعادلة الرباعية:
   قمنا بحل المعادلة الرباعية (س^2 + 2س – 15 ≥ 0) باستخدام عمليات التوسيع والعوامل، ووجدنا الحلول الممكنة.

6. اختيار القيمة المناسبة:
   اخترنا القيمة المناسبة للطول (س ≥ 0)، وهي القيمة الأدنى الممكنة، واستخدمناها لحساب الارتفاع.

7. التحقق من الإجابة:
   قمنا بالتحقق من الإجابة عن طريق استخدام القيمة المحسوبة للطول في المعادلة الأصلية للارتفاع للتأكد من صحة الحل.

بهذه الطريقة، قمنا بتحديد القيمة المثلى للارتفاع بناءً على الشروط المعطاة واستخدمنا الرياضيات والجبر لحل المسألة.