حساب احتمالية سحب كرتين من نفس اللون (مسألة رياضيات)

يحتوي صندوق على 6 كرات سوداء و 8 كرات حمراء و 4 كرات خضراء. يتم سحب كرتين عشوائيًا من الصندوق. ما هي احتمالية أن تكون كل الكرات من نفس اللون؟

الحل:

لحساب احتمالية أن تكون الكرتين من نفس اللون، يمكننا تحديد عدد الطرق الناجحة لهذا الحدث وتقسيمه على إجمالي عدد الطرق الممكنة.

لنحسب عدد الطرق الناجحة للحصول على كرتين من نفس اللون:

1. احتمال الحصول على كرتين سوداوين: (6C2) ، حيث (nCr) يمثل اختيار n عناصر من بين r عناصر. في هذه الحالة، (6C2) يعبر عن اختيار كرتين من بين الكرات السوداء.
2. احتمال الحصول على كرتين حمراوين: (8C2) ، حيث (8C2) يمثل اختيار كرتين من بين الكرات الحمراء.
3. احتمال الحصول على كرتين خضراوين: (4C2) ، حيث (4C2) يمثل اختيار كرتين من بين الكرات الخضراء.

الآن، يمكننا جمع عدد الطرق الناجحة: (6C2) + (8C2) + (4C2).

ثم، يمكننا حساب إجمالي عدد الطرق الممكنة لسحب كرتين من الصندوق: (18C2) ، حيث (18C2) يمثل اختيار كرتين من بين إجمالي عدد الكرات (6 + 8 + 4).

الآن، يمكن حساب الاحتمالية عن طريق قسمة عدد الطرق الناجحة على إجمالي عدد الطرق الممكنة:

$P(\text{نفس اللون}) = \frac{(6C2) + (8C2) + (4C2)}{(18C2)}$

الحسابات يمكن أن تكون معقدة قليلاً، ولكن هذه الطريقة توضح كيف يمكن حساب الاحتمالية في هذا السياق.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين حساب الاحتمالات. قوانين الاحتمالات تقوم على مفهوم النسبة بين عدد الحالات المرغوب في حدوثها وإجمالي عدد الحالات الممكنة.

المعلومات المعطاة:

• عدد الكرات السوداء = 6
• عدد الكرات الحمراء = 8
• عدد الكرات الخضراء = 4

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمال المجموع:
   يقول هذا القانون إن احتمال حدوث إحدى الحالات المتعددة يتم عن طريق جمع احتمالات كل حالة على حدة.

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$

في هذه المسألة:
$P(\text{نفس اللون}) = P(\text{سودتين}) + P(\text{حمرتين}) + P(\text{خضرتين})$

2. قانون الاحتمال للحوادث المستقلة:
   إذا كانت حوادث مختلفة لا تتأثر ببعضها البعض، يمكننا حساب احتمال حدوثها بضرب الاحتمالات الفردية.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

حساب الاحتمال:

1. احتمال الحصول على كرتين سوداوين:
   $P(\text{سودتين}) = \frac{{\binom{6}{2}}}{{\binom{18}{2}}}$

2. احتمال الحصول على كرتين حمراوين:
   $P(\text{حمرتين}) = \frac{{\binom{8}{2}}}{{\binom{18}{2}}}$

3. احتمال الحصول على كرتين خضراوين:
   $P(\text{خضرتين}) = \frac{{\binom{4}{2}}}{{\binom{18}{2}}}$

4. احتمال حدوث أي من هذه الحالات:
   $P(\text{نفس اللون}) = P(\text{سودتين}) + P(\text{حمرتين}) + P(\text{خضرتين})$

التوضيح:

• في كل حالة، نستخدم $\binom{n}{r}$ للدلالة على عدد الطرق الممكنة لاختيار r عنصرًا من بين n عنصر.

• نقوم بجمع احتمالات الثلاث حالات للحصول على احتمال حدوث أي منها.

• يتم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لتفسير كيف يمكن حساب الاحتمالات في هذا السياق.

هذا الأسلوب يستخدم قوانين الاحتمالات بشكل مفصل لحل المسألة، مما يوفر فهمًا أعمق للعملية الرياضية.