حساب احتمالية سحب رقائق ملونة (مسألة رياضيات)

في كيس، هناك 5 رقائق زرقاء و3 رقائق صفراء. يتم سحب رقاقة واحدة عشوائيًا، ومن ثم يتم استبدالها، وبعد ذلك يتم سحب رقاقة ثانية. ما هي احتمالية أن تكون الرقاقتان المسحوبتان من ألوان مختلفة، ويتم التعبير عن ذلك ككسر عادي؟

الحلافترض أن لدينا حدث A يمثل سحب رقاقة زرقاء في المرة الأولى وحدث B يمثل سحب رقاقة صفراء في المرة الثانية.

إذاً، احتمال حدوث A يكون (عدد الرقائق الزرقاء ÷ إجمالي عدد الرقائق) = (5 ÷ 8).

واحتمال حدوث B هو نفسه (5 ÷ 8)، لأننا قمنا بإعادة الرقاقة.

الآن، لحساب احتمال حدوث الحدث A و B معًا (الرقاقتين مختلفتين اللون)، نضرب احتمالات الحدثين:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \left(\frac{5}{8}\right) \times \left(\frac{3}{8}\right)$

الآن قم بحساب الناتج:
$P(A \cap B) = \frac{15}{64}$

إذاً، الاحتمالية أن تكون الرقاقتين مختلفتين اللون هي $\frac{15}{64}$.

بالطبع، دعونا نقدم تفاصيل أكثر لحل المسألة ونذكر القوانين المستخدمة. لنبدأ بتحليل السياق:

القانون الذي استخدمناه أولاً هو قانون الاحتمال، الذي يعبر عن النسبة بين عدد الحالات المرجحة لحدوث حدث معين وإجمال الحالات الممكنة.

في هذه المسألة، كان لدينا اثنين من الأحداث: سحب رقاقة زرقاء (A) وسحب رقاقة صفراء (B). لكل من هذه الأحداث، قمنا بحساب الاحتمال باستخدام القانون:

$P(A) = \frac{\text{عدد الرقائق الزرقاء}}{\text{إجمالي عدد الرقائق}}$

وكذلك:

$P(B) = \frac{\text{عدد الرقائق الصفراء}}{\text{إجمالي عدد الرقائق}}$

ثم استخدمنا قاعدة ضرب الاحتمالات لحساب الاحتمال المشترك لحدوث الحدثين A و B (سحب رقاقتين مختلفتين اللون):

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

وهذا الناتج يعبر عن احتمال أن يحدث الحدث A وفي نفس الوقت يحدث الحدث B.

بالتالي، تمثلت القوانين المستخدمة في الحل في قوانين الاحتمال وقاعدة ضرب الاحتمالات. وبهذا، حصلنا على الناتج النهائي بعد حساب القيم:

$P(A \cap B) = \frac{15}{64}$

التفاصيل والقوانين المستخدمة تبرز أهمية فهم المفاهيم الرياضية الأساسية وتطبيقها بشكل صحيح للوصول إلى الإجابة الصحيحة في حل المسائل الاحتمالية.