حساب احتمالات العيوب في الإنتاج

تنتج آلة – x 50٪ من الإنتاج الإجمالي، بينما تنتج آلة – y 75٪ من الإنتاج الإجمالي. في المتوسط، يكون هناك 9 وحدات من بين كل 1000 منتج تنتجها آلة – x هي معيبة، وتكون اثنتان من بين كل 500 وحدة منتجة بواسطة آلة – x هي معيبة أيضا. السؤال هو: ما هي احتمالية أن تكون وحدة مختارة عشوائيًا من الإنتاج اليومي الإجمالي للمصنع هي معيبة؟

لحل هذه المسألة، يمكننا حساب الاحتمالات المختلفة لوحدة معيبة من كل آلة ثم جمعها. لنقم بذلك:

للآلة – x: نحسب احتمال أن تكون الوحدة معيبة من بين 1000 وحدة وأخرى من بين 500 وحدة، ثم نجمع النتائج.

1. احتمال الوحدة المعيبة من بين 1000 وحدة: $\frac{9}{1000}$
2. احتمال الوحدة المعيبة من بين 500 وحدة: $\frac{2}{500}$ (نقوم بتقسيم العدد المعيب على عدد الوحدات)

للآلة – y: نحسب احتمال الوحدة المعيبة من بين 1000 وحدة.

1. احتمال الوحدة المعيبة من بين 1000 وحدة: $\frac{0}{1000}$ (حيث أن آلة – y لا تنتج وحدات معيبة في هذه المسألة)

الآن نقوم بجمع هذه الاحتمالات:
$P(معيبة) = P(معيبة | آلة – x) \times P(آلة – x) + P(معيبة | آلة – y) \times P(آلة – y)$

وهنا قيم الاحتمالات:
$P(معيبة) = \left( \frac{9}{1000} + \frac{2}{500} \right) \times 0.5 + \left( \frac{0}{1000} \right) \times 0.75$

الآن يمكن حساب هذه القيم والوصول إلى الإجابة النهائية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالات وقوانين الاحتمالات. قانون الاحتمالات الشرطي يكون مفيداً في هذا السياق. لنستعرض الخطوات والتفاصيل:

1. المعلومات الأولية:

   • آلة – x تنتج 50٪ من الإنتاج وآلة – y تنتج 75٪ من الإنتاج.

2. حساب الاحتمالات:

   • للآلة – x:

     • احتمال الوحدة المعيبة من بين 1000 وحدة: $P(معيبة | آلة – x) = \frac{9}{1000}$
     • احتمال الوحدة المعيبة من بين 500 وحدة: $P(معيبة | آلة – x) = \frac{2}{500}$
     • احتمال استخدام آلة – x: $P(آلة – x) = 0.5$

   • للآلة – y:

     • احتمال الوحدة المعيبة من بين 1000 وحدة: $P(معيبة | آلة – y) = \frac{0}{1000}$ (حيث لا تنتج آلة – y وحدات معيبة)
     • احتمال استخدام آلة – y: $P(آلة – y) = 0.75$

3. قانون الاحتمال الشرطي:

   • يتيح لنا قانون الاحتمال الشرطي حساب الاحتمال المشترك لحدوث حدثين مرتبطين. الصيغة العامة هي:
     $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$

4. حساب احتمال وجود وحدة معيبة:

   • نستخدم القانون الشرطي لحساب احتمال وجود وحدة معيبة في الإنتاج اليومي الإجمالي:
     $P(معيبة) = P(معيبة | آلة – x) \times P(آلة – x) + P(معيبة | آلة – y) \times P(آلة – y)$

5. حساب القيم:

   • يمكن حساب هذه القيم واستبدالها في الصيغة للحصول على الإجابة النهائية.

تم استخدام القوانين الأساسية للإحتمالات وتفاصيل المسألة للوصول إلى الحلا. يجب أن يكون الرد متناسقًا ويعتمد على المنطق والرياضيات.