حساب أكبر مشترك لعوامل العددين (مسألة رياضيات)

نريد حساب أكبر مشترك للقوى بين $5!$ و$\frac{8!}{3!}$.

في هذه المسألة، نقوم بحساب القوى الأولية لكل من $5!$ و$\frac{8!}{3!}$ ثم نحسب العامل المشترك الأكبر بينهما. لحساب القوى الأولية، نحتاج إلى تفكيك الأعداد إلى عواملها الأولية.

لحساب $5!$، نقوم بضرب الأعداد من 1 إلى 5 ونستخدم القاعدة التي تقول إن $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n-1) \times n.$
$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5.$

لحساب $\frac{8!}{3!}$، نستخدم القاعدة $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n-1) \times n$ ونقوم بقسمة العدد الناتج على العدد الفاصل الذي هو $3!$.
$\frac{8!}{3!} = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8}{1 \times 2 \times 3} = 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 = 2^6 \times 3^2 \times 5 \times 7.$

ثم نقوم بتفكيك كل من $5!$ و$\frac{8!}{3!}$ إلى عواملها الأولية.

الآن، نستخدم قاعدة حساب العامل المشترك الأكبر (GCD)، حيث نأخذ أقل قوة لكل عامل في العددين. يكون العامل المشترك الأكبر:
$GCD(2^3 \times 3 \times 5, 2^6 \times 3^2 \times 5 \times 7) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120.$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة حساب القوى الأولية: $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n-1) \times n$.
2. قاعدة تفكيك الأعداد إلى عوامل أولية.
3. قاعدة حساب العامل المشترك الأكبر (GCD)، حيث نأخذ أقل قوة لكل عامل في الأعداد المعنية.