حساب أكبر قوة 3 لعامل 28! (مسألة رياضيات)

إذا كانت $m = 3^n$، فما هي أكبر قيمة لـ $n$ التي يكون فيها $m$ عاملًا لعدد $28!$؟

لحل هذه المسألة، نبدأ بفهم ما يعني عاملًا. يُقصد بأن $m$ هو عامل لعدد $28!$ أن $3^n$ يمكن أن يقسم $28!$ بدون أن يكون هناك باقي.

أولاً، نحسب قوة عدد 3 في تحليل عدد $28!$. نعلم أن $3^n$ يكون عاملًا إذا كانت قوة 3 في تحليل $28!$ أكبر من أو تساوي $n$.

نعلم أن عدد 28! يمثل ضرب الأعداد من 1 إلى 28، لذا نحتاج إلى حساب كم عدد 3 في كل عدد من هذه الأعداد.

من ثم، نجمع جميع الأعداد التي تحتوي على عوامل 3 في التحليل. نبدأ بالأعداد التي تحتوي على عامل 3 مرة واحدة، ثم الأعداد التي تحتوي على عامل 3 مرتين، وهكذا.

لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 3 في التحليل مرة واحدة، نقسم كل عدد في تحليل $28!$ على 3 ونأخذ الجزء الصحيح. نفعل نفس الشيء للعداد التي تحتوي على عامل 3 مرتين، وهكذا.

عندما نجمع جميع هذه القيم، نحصل على قوة 3 الإجمالية في تحليل $28!$، وبالتالي يمكننا حساب أكبر قيمة لـ $n$ بحيث $m = 3^n$ يكون عاملًا لـ $28!$.

بالتأكيد، دعونا نستكمل حلاً مفصلًا للمسألة ونستخدم القوانين الرياضية المناسبة. لنحسب أكبر قيمة لـ $n$ التي يكون فيها $m = 3^n$ عاملًا لـ $28!$.

أولاً، نستخدم القانون الرياضي الذي يقول:
$a^n \times a^m = a^{n+m}$
حيث $a$ هو أي عدد، و $n$ و $m$ هما أعداد صحيحة.

الآن، لنحسب قوة 3 في تحليل $28!$، نقسم كل عدد في تحليل $28!$ على 3 ونأخذ الجزء الصحيح. يمكننا استخدام القانون التالي:
$\text{قوة 3 في تحليل } 28! = \left\lfloor \frac{28}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{28}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{28}{3^3} \right\rfloor + \ldots$

حيث $\lfloor x \rfloor$ تمثل الجزء الصحيح للعدد $x$.

لحساب ذلك:
$\left\lfloor \frac{28}{3} \right\rfloor = 9$
$\left\lfloor \frac{28}{3^2} \right\rfloor = 3$
$\left\lfloor \frac{28}{3^3} \right\rfloor = 1$
$\left\lfloor \frac{28}{3^4} \right\rfloor = 0$
$\vdots$

الآن نجمع هذه القيم:
$9 + 3 + 1 = 13$

إذاً، قوة 3 في تحليل $28!$ هي 13.

القانون الآخر الذي نستخدمه هو أن لدينا عاملًا إذا كانت قوة العدد الأول أكبر من أو تساوي العدد الثاني. لذا، نحصل على:
$m = 3^n$
$13 \geq n$

إذاً، أكبر قيمة لـ $n$ التي يكون فيها $m = 3^n$ عاملًا لـ $28!$ هي 13.