حساب أكبر عدد صحيح لعامل 2

المطلوب هو حساب أكبر عدد صحيح $k$ بحيث يكون $2^k$ عاملًا للعدد $n$، حيث $n$ هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 5 إلى 20 بما في ذلك هذه القيمتين.

لحل هذه المشكلة، يمكننا البدء بحساب حاصل الضرب $n$. سنقوم بضرب كل عدد في النطاق من 5 إلى 20:

$n = 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15 \times 16 \times 17 \times 18 \times 19 \times 20$

بعد حساب هذا الحاصل، سنقوم بتحليل عدد $n$ لمعرفة كيفية حساب أكبر عدد صحيح $k$ حتى يكون $2^k$ عاملًا له. سنقوم بفحص عدد مرات ظهور عامل 2 في تحليل عدد $n$ باستخدام القواسم:

$n = 2^a \times \text{other factors}$

حيث $a$ هو العدد الذي يمثل مرات ظهور العامل 2 في تحليل عدد $n$. الهدف هو حساب أكبر قيمة لـ $a$.

نبدأ بتحليل عدد $n$ وحساب مرات ظهور العامل 2 في هذا التحليل. يمكننا أن نستخدم تقنية القسمة المتكررة لتحديد كم مرة يمكن قسم $n$ على 2:

$n = 2^1 \times (\text{some odd number})$

هنا، $a = 1$ هو عدد مرات ظهور العامل 2. الآن نقوم بمواصلة عملية القسم على العدد الفردي الذي حصلنا عليه:

$(\text{some odd number}) = 2^0 \times (\text{some odd number})$

هنا، $a = 0$، لأن العدد الفردي لا يحتوي على عامل 2. نكرر العملية:

$(\text{some odd number}) = 2^0 \times (\text{some odd number})$

وهكذا نستمر حتى نصل إلى نهاية عملية القسم. القاعدة العامة هي أننا نضيف جميع الأعداد $a$ التي حصلنا عليها في كل عملية:

$k = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$

بتطبيق هذه الخطوات، نستطيع حساب أكبر عدد صحيح $k$ حتى يكون $2^k$ عاملًا للعدد $n$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. حساب حاصل الضرب $n$:
   $n = 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15 \times 16 \times 17 \times 18 \times 19 \times 20$

2. تحليل عدد $n$ باستخدام القواسم:
   نقوم بتحليل $n$ للعثور على مرات ظهور العامل 2.
   $n = 2^a \times (\text{other factors})$

3. حساب مرات ظهور العامل 2 ($a$):
   نستخدم تقنية القسمة المتكررة لتحديد قيمة $a$ في كل عملية قسم.

   • $n = 2^1 \times (\text{some odd number})$ ، حيث $a = 1$.
   • نقوم بالقسم على العدد الفردي للحصول على $2^0 \times (\text{some odd number})$ ، حيث $a = 0$.
   • نستمر في القسم حتى نصل إلى نهاية العملية.

4. حساب أكبر عدد صحيح $k$:
   يمكننا حساب $k$ عن طريق جمع جميع القيم $a$ التي حصلنا عليها في كل عملية قسم:
   $k = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$

القوانين المستخدمة:

• قانون حساب الضرب: يتم استخدام قانون حساب الضرب لحساب حاصل الضرب $n$ بضرب جميع الأعداد في النطاق المعطى.

• قانون القسمة المتكررة: يستخدم لتحليل عدد إلى عوامله الأولية، حيث نقوم بالقسم على العدد ونستمر في القسم حتى نحصل على عدد فردي لا يحتوي على عامل 2.

• قانون الأسس: يتم استخدام لحساب مرات ظهور العامل 2 في تحليل عدد $n$.

• قانون الجمع: يستخدم لجمع جميع القيم $a$ للحصول على أكبر قيمة لـ $k$.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة وحساب القيمة الصحيحة لـ $k$.