حساب أطوال قطاعات دائرية متساوية الحجم (مسألة رياضيات)

قطعت دائرية بقطر يبلغ 12 سم مقسمة إلى ثلاث قطاعات متساوية الحجم بشكل دائري. لنمثل ب $l$ طول أطول قطعة يمكن رسمها داخل أحد هذه القطاعات. ما هو قيمة $l^2$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا النظر إلى الهندسة الفضائية للقطاع الدائري. إذا كانت الدائرة لديها قطر بطول 12 سم، فإن نصف القطر سيكون 6 سم. يمثل القطاع الواحد ثلث المحيط الدائري، وبالتالي يمكننا حساب زاوية القطاع باستخدام العلاقة التالية:

$\text{زاوية القطاع} = \frac{360^\circ}{\text{عدد القطاعات}} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

الآن، لنحسب طول القوس الممتد بين طرفي هذه الزاوية على الدائرة. يمكن استخدام العلاقة التالية:

$\text{طول القوس} = \frac{\text{زاوية القطاع}}{360^\circ} \times \text{محيط الدائرة}$

$\text{طول القوس} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times \text{نصف القطر}$

$\text{طول القوس} = \frac{1}{3} \times 2 \times \pi \times 6$

$\text{طول القوس} = 4\pi$

الآن، لدينا قطعة دائرية تمثل طول القوس، وهي قطعة قطرها $l$ في القطاع الواحد. ونعلم أن $l$ هو قطعة من قوس دائري، لذا يمكننا استخدام القانون الهندسي للمثلثات في المثلث القائم الذي يتكون من نصف القطر ونصف $l$ لحساب $l$. يكون الطول $l$ كالتالي:

$l = 2 \times \sqrt{\left(\frac{1}{2} \times l\right)^2 + (\text{نصف القطر})^2}$

$l = 2 \times \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 6^2}$

$l = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36}$

$l^2 = \left(\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36}\right)^2$

$l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36$

الآن، لدينا معادلة لـ $l^2$، ويمكننا حلها. ضعنا قيمة $l^2$ في الجهة اليمنى:

$l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36$

$l^2 = \frac{l^2}{4} + 36$

قم بضرب كل جانب في 4 للتخلص من المقام:

$4l^2 = l^2 + 144$

قم بطرح $l^2$ من الجهتين:

$3l^2 = 144$

قم بقسم كل جانب على 3:

$l^2 = 48$

لذا، قيمة $l^2$ تكون 48.

لحل هذه المسألة، سنستخدم العديد من القوانين الهندسية والرياضية، بدءًا من قوانين الدوائر وانتقالًا إلى الهندسة الفضائية. سنركز على حساب طول القوس في القطاع الدائري ومن ثم استخدام القانون الهندسي للمثلثات لحساب الطول $l$.

أولاً، نستخدم القوانين الدائرية:

1. حساب زاوية القطاع:
   $\text{زاوية القطاع} = \frac{360^\circ}{\text{عدد القطاعات}}$

2. حساب طول القوس:
   $\text{طول القوس} = \frac{\text{زاوية القطاع}}{360^\circ} \times \text{محيط الدائرة}$

$\text{طول القوس} = \frac{\text{زاوية القطاع}}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times \text{نصف القطر}$

$\text{طول القوس} = \frac{1}{3} \times 2 \times \pi \times 6$

$\text{طول القوس} = 4\pi$

ثم، سنستخدم القانون الهندسي للمثلثات:

3. حساب الطول $l$:
   $l = 2 \times \sqrt{\left(\frac{1}{2} \times l\right)^2 + (\text{نصف القطر})^2}$

$l = 2 \times \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 6^2}$

$l = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36}$

$l^2 = \left(\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36}\right)^2$

$l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + 36$

وأخيرًا، نحل المعادلة النهائية:

$l^2 = \frac{l^2}{4} + 36$

$4l^2 = l^2 + 144$

$3l^2 = 144$

$l^2 = 48$

القوانين المستخدمة تتضمن قوانين الدوائر والزوايا الدائرية والهندسة الفضائية، واستخدام القانون الهندسي للمثلثات. يتم استخدام هذه القوانين لتحليل هندسي دقيق للقطاع الدائري وحساب الطول المطلوب بناءً على البيانات المتاحة.