حساب أدنى قيمة لدالة تربيعية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي إيجاد أصغر قيمة للمتغير $y$ إذا كانت العلاقة تعبر عنها بالتالي: $y = 3x^2 + 6x + 9$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى البحث عن القيمة الصغرى للمتغير $y$ عندما يكون $x$ هو المتغير. للقيام بذلك، نحتاج إلى العثور على أدنى نقطة في منحنى الدالة.

يتم تمثيل الدالة $y = 3x^2 + 6x + 9$ بمنحنى عبارة عن قوس منحنى والذي يمكن أن يكون فتح أم مقلوبًا، وهذا يعتمد على قيمة المعامل $a$ في معادلة الدالة التي تمثل المقطع الرئيسي للمنحنى. في حالتنا، $a = 3$، وهذا يشير إلى أن المنحنى سيكون مفتوحًا نحو الأعلى.

للعثور على أدنى نقطة في المنحنى، نستخدم مفهوم النقطة العالمية للمنحنى والتي تسمى أيضًا بنقطة الأعلى أو الأدنى. في هذه الحالة، نحن بحاجة إلى العثور على القيمة الصغرى للمتغير $y$ والتي تمثل أدنى نقطة في المنحنى.

لحساب ذلك، نحتاج إلى استخدام الرياضيات وتقنيات الجبر والتفاضل والتكامل. سنقوم بحساب المشتقة الأولى للدالة، ومن ثم حل المشتقة للعثور على القيمة التي تجعل المشتقة تساوي صفرًا. هذه القيمة تمثل موقع الأدنى على المنحنى.

لذا، لحساب القيمة الصغرى لـ $y$، نقوم بالخطوات التالية:

1. نحسب المشتقة الأولى للدالة: $y’ = \frac{dy}{dx}$.
2. نضع المشتقة مساوية للصفر ونحل للعثور على قيم $x$.
3. نستخدم القيمة التي نحصل عليها لحساب القيمة المقابلة لـ $y$.

لنبدأ بحساب المشتقة الأولى للدالة:
$y’ = \frac{dy}{dx} = 6x + 6$

ثم نضع $y’$ مساوية للصفر ونحل للعثور على قيمة $x$:
$6x + 6 = 0$
$6x = -6$
$x = -1$

الآن، بعد أن وجدنا قيمة $x$، نستخدمها لحساب القيمة المقابلة لـ $y$:
$y = 3(-1)^2 + 6(-1) + 9$
$y = 3 + (-6) + 9$
$y = 6$

لذا، القيمة الصغرى لـ $y$ عندما $y = 3x^2 + 6x + 9$ هي $6$ عندما $x = -1$.

لحل المسألة وإيجاد أصغر قيمة للتعبير $y = 3x^2 + 6x + 9$، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والتفاضل والتكامل. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. المشتقة الأولى للدالة (Derivative):
   قانون المشتقة الأولى يستخدم لحساب معدل التغير الفوري للدالة. للدالة $y = 3x^2 + 6x + 9$، نقوم بحساب المشتقة الأولى $y’$ بالنسبة للمتغير $x$.

   قانون المشتقة ينص على أنه لدالة من الشكل $ax^n$، فإن المشتقة الأولى تكون $anx^{n-1}$. بالتالي، لدينا:
   $y’ = \frac{dy}{dx} = 6x + 6$

2. حل المشتقة للعثور على نقاط الأدنى (Critical Points):
   للعثور على نقطة الأدنى في الدالة، نقوم بحل المشتقة $y’$ للعثور على القيمة التي تجعل المشتقة تساوي صفرًا. هذه القيمة تمثل موقع نقطة الأدنى.

   $6x + 6 = 0$
   $6x = -6$
   $x = -1$

3. القيمة المقابلة لنقطة الأدنى:
   بعد العثور على $x = -1$ كنقطة حيث المشتقة تساوي صفرًا، نستخدم هذه القيمة لحساب القيمة المقابلة لـ $y$ في الدالة الأصلية.

   $y = 3(-1)^2 + 6(-1) + 9$
   $y = 3 + (-6) + 9$
   $y = 6$

4. القيمة الصغرى لـ $y$:
   القيمة التي حصلنا عليها $y = 6$ هي القيمة الصغرى للتعبير $y = 3x^2 + 6x + 9$ عندما $x = -1$.

باختصار، استخدمنا قوانين الجبر والتفاضل لحساب المشتقة الأولى للدالة، ثم حلنا المشتقة للعثور على نقطة الأدنى، وأخيرًا استخدمنا هذه القيمة لحساب القيمة المقابلة لنقطة الأدنى في الدالة الأصلية.