حجم الهرم: حل المسألة والتحليل (مسألة رياضيات)

مستطيل $ABCD$ هو قاعدة هرم $PABCD$. إذا كانت $AB = 8$، $BC = 4$، $\overline{PA}\perp \overline{AD}$، $\overline{PA}\perp \overline{AB}$، وكانت $PB = 17$، فما هو حجم الهرم $PABCD$؟

نلاحظ أن $\overline{PA}$ هي الارتفاع للهرم $PABCD$. لحساب حجم الهرم، نحتاج إلى معرفة قاعدته وارتفاعه.

من المعطيات، معروف أن قاعدة الهرم هي مستطيل $ABCD$، لذا مساحة قاعدة الهرم تكون المساحة المستطيلية وتُحسب بالضرب بين القاعدة والعرض، أي: $Area_{\text{base}} = AB \times BC = 8 \times 4 = 32$.

ثمَّ، لحساب ارتفاع الهرم، يمكننا استخدام مثلث قائم الزاوية $PAB$. بما أننا نعرف طول الضلعين المتقابلين للزاوية القائمة، يمكننا استخدام القاعدة الثلاثية لحساب الضلع الثالث، فنحصل على طول الضلع $PA$.

نستخدم مبرهنة فيثاغورس لحساب $PA$:
$PA^2 = PB^2 – BA^2 = 17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225$
$PA = \sqrt{225} = 15$

إذاً، الآن نحن نعرف الارتفاع $PA$، ونحن جاهزون لحساب حجم الهرم. يُحسب حجم الهرم بالتالي:
$Volume = \frac{1}{3} \times \text{Area}_{\text{base}} \times \text{height} = \frac{1}{3} \times 32 \times 15 = 160$

لذا، حجم الهرم $PABCD$ هو 160 وحدة مكعبة.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بالتحليل والحساب باستخدام عدة مفاهيم هندسية وقوانين رياضية. القوانين والمفاهيم التي سنستخدمها تشمل:

1. مبرهنة فيثاغورس: هذه المبرهنة تقول إنه في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الضلع الواقع مقابل الزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. يُستخدم هذا القانون في حساب طول الضلع في المثلث القائم.

2. مساحة المستطيل: يُحسب ضرب الطول في العرض، وهو القانون الذي سنستخدمه لحساب مساحة قاعدة الهرم.

3. حجم الهرم: يُحسب بالضرب بين مساحة القاعدة والارتفاع، ثم يقسم الناتج على 3، وهو القانون الذي سنستخدمه لحساب حجم الهرم.

الآن، سنبدأ في حل المسألة:

أولاً، نستخدم مبرهنة فيثاغورس في مثلث قائم الزاوية $PAB$ لحساب طول الضلع $PA$:
$PA^2 = PB^2 – BA^2 = 17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225$
$PA = \sqrt{225} = 15$

ثانياً، نحسب مساحة قاعدة الهرم باستخدام مساحة المستطيل:
$Area_{\text{base}} = AB \times BC = 8 \times 4 = 32$

ثالثاً، نستخدم القانون الخاص بحساب حجم الهرم:
$Volume = \frac{1}{3} \times \text{Area}_{\text{base}} \times \text{height} = \frac{1}{3} \times 32 \times 15 = 160$

وهكذا، نكون قد حسبنا حجم الهرم $PABCD$، وهو 160 وحدة مكعبة.

في الختام، استخدمنا المبرهنة الفيثاغورية لحساب طول الضلع في المثلث القائم، واستخدمنا مساحة المستطيل لحساب مساحة قاعدة الهرم، واستخدمنا القانون الخاص بحجم الهرم لحساب حجم الهرم.