توسيع بنوميال وحساب التعبيرات الرياضية (مسألة رياضيات)

لنقم بحل المسألة الرياضية المعطاة، حيث يتمثل السؤال في حساب أول ثلاثة أرقام عشرية على اليمين من الفاصلة العشرية في التمثيل العشري للتعبير التالي:

$(10^{2002} + 1)^{\frac{10}{7}}$.

لحل هذا، نحتاج أولاً إلى استخدام توسيع بنوميال للتعبير $(x + y)^r$ بحيث يكون $x = 10^{2002}$ و $y = 1$ و $r = \frac{10}{7}$. يُعطي ذلك التعبير الآتي:

$(10^{2002} + 1)^{\frac{10}{7}} = 10^{\frac{10}{7} \times 2002} + \frac{10}{7} \times 10^{\frac{10}{7} \times (2002-1)} + \frac{\frac{10}{7} \times \frac{10}{7-1}}{2} \times 10^{\frac{10}{7} \times (2002-2)} + \ldots$.

الآن، يمكننا تقريب التعبير للحصول على قيمة تقريبية للتعبير. سنقوم بحساب القيمة باستخدام الآلة الحاسبة أو برنامج الحاسبة العلمية. بعد ذلك، سنقوم بتحديد أول ثلاثة أرقام عشرية على اليمين من الفاصلة العشرية في الناتج.

يرجى ملاحظة أن هذه العملية تتطلب استخدام آلة حاسبة أو برنامج حاسوب للقيام بالحسابات الدقيقة بسبب الأعداد الكبيرة المعتمدة في المسألة.

لنقم بتوضيح المزيد وحل التفاصيل لهذه المسألة الرياضية المعقدة. سنستخدم قاعدة توسيع بنوميال وبعض القوانين الجبرية لتبسيط التعبير وحساب القيمة المطلوبة. القوانين المستخدمة هي:

1. توسيع بنوميال:
   $(x + y)^r = x^r + rx^{(r-1)}y^1 + \frac{r(r-1)}{2}x^{(r-2)}y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^{(r-3)}y^3 + \ldots$

2. قاعدة الأسس:
   $a^{mn} = (a^m)^n$

3. الجمع والطرح لأسس ذات الأساس:
   $a^m + b^m = (a+b)^m$

4. ضرب الأسس ذات الأساس:
   $a^m \times a^n = a^{m+n}$

5. قاعدة الأس المعكوس:
   $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

الآن، سنقوم بتوسيع التعبير المعطى $(10^{2002} + 1)^{\frac{10}{7}}$ باستخدام توسيع بنوميال، ونستخدم القوانين المذكورة أعلاه لتبسيط التعبير. بعد ذلك، سنقوم بحساب القيمة باستخدام آلة حاسبة أو برنامج حاسوب.

الخطوات:

1. توسيع بنوميال:
   $(10^{2002} + 1)^{\frac{10}{7}} = 10^{\frac{10}{7} \times 2002} + \frac{10}{7} \times 10^{\frac{10}{7} \times (2002-1)} + \frac{\frac{10}{7} \times \frac{10}{7-1}}{2} \times 10^{\frac{10}{7} \times (2002-2)} + \ldots$

2. تبسيط التعبير:
   نقوم بتجميع الأسس وتبسيط الكسور حتى نحصل على تعبير أبسط.

3. حساب القيمة:
   نقوم بحساب القيمة باستخدام القوانين الجبرية ونحصل على تقريب للقيمة.

4. تحديد الأرقام العشرية:
   نقوم بتحديد الأول ثلاثة أرقام عشرية على اليمين من الفاصلة العشرية في الناتج.

يرجى مراعاة أن هذه العملية تحتاج إلى دقة عالية في الحسابات واستخدام آلة حاسبة أو برنامج حاسوب للحصول على نتائج دقيقة.