تناسب مساحة المثلثات المتجاورة (مسألة رياضيات)

نتحدث عن مثلث لديه مساحة $T$. عند ربط نقاط منتصف أضلاعه، نحصل على مثلث جديد يتمتع بمساحة $M$. نريد معرفة النسبة بين $M$ و $T$ على شكل كسر عادي.

لنقم بتسمية نقاط المثلث الأصلي $A$، $B$، $C$، ونسمي منتصف الضلع $AB$ بـ $D$، منتصف الضلع $AC$ بـ $E$، ومنتصف الضلع $BC$ بـ $F$.

المساحة الكلية للمثلث الأصلي $T$ تُحسب بواسطة قاعدة “نصف القاعدة مضروباً في الارتفاع”، أو بمعادلة $T = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$.

الآن، بما أننا ننشئ مثلثا جديداً باستخدام نقاط المنتصف، فإن كل ضلع في المثلث الجديد هو نصف طول الضلع المقابل في المثلث الأصلي.

لذا، طول أضلاع المثلث الجديد $DEF$ هو نصف أطوال الأضلاع في المثلث الأصلي. يعني $DE = \frac{1}{2} AB$، $EF = \frac{1}{2} BC$، و $FD = \frac{1}{2} AC$.

المساحة الكلية للمثلث الجديد $M$ تُحسب بنفس الطريقة: $M = \frac{1}{2} \times \text{base}_{\text{new}} \times \text{height}_{\text{new}}$.

نعلم أن القاعدة الجديدة $DE$ هي الضلع $DF$ في المثلث الأصلي، والقاعدة الجديدة $EF$ هي الضلع $EF$ في المثلث الأصلي، والارتفاع الجديد يساوي الارتفاع في المثلث الأصلي.

لذا،

الآن، نستطيع أن نقسم $M$ على $T$ للحصول على النسبة المطلوبة:

حيث أن $h$ هو الارتفاع في المثلث الأصلي. تلاحظ أن نسبة $\frac{BC}{h}$ تمثل الضلع المقابل للقاعدة مقسوماً على الارتفاع، وهو عامل يظهر في الأعداد اللاحقة. إذاً، يجب معرفة النسبة بين الضلع والارتفاع.

بما أننا لا نملك قيم محددة لأطوال الأضلاع والارتفاع، فلا يمكننا حساب قيمة محددة للنسبة بدون معرفة مزيد من التفاصيل حول المثلث. لكن يمكننا التأكيد على أن النسبة النهائية هي $\frac{1}{4} \times \frac{BC}{h}$، حيث أن $BC$ و $h$ هما طول الضلع المقابل للقاعدة والارتفاع على التوالي في المثلث الأصلي.

لحل المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الهندسية الأساسية المتعلقة بالمثلثات والمساحات.

1. قانون مساحة المثلث: يتمثل في قاعدة “نصف القاعدة مضروباً في الارتفاع”. إذا كانت القاعدة $b$ والارتفاع $h$ لمثلث، فإن مساحته تُحسب بالصيغة:

   $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times b \times h$$

2. منتصف الضلع في المثلث: نقطة وسطية على ضلع مثلث تقسمه إلى قسمين متساويين.

3. منتصف الضلع يولد مثلث متطابق الأضلاع: عند ربط نقاط منتصف أضلاع مثلث، نحصل على مثلث جديد يتمتع بأضلاع متساوية الطول.

4. النسبة بين مساحات المثلثات: عندما نقوم بربط نقاط منتصف الأضلاع في مثلث، يتضاعف مثلث النصف المتساوي الضلع مساحة المثلث الأصلي.

بناءً على هذه القوانين، يمكننا حل المسألة كالتالي:

لنفترض أن طول أضلاع المثلث الأصلي هي $a$، $b$، و $c$، ومساحته $T$.

نقوم برسم المنتصفات $D$، $E$، و $F$ لكل ضلع على التوالي.

ثم، نجد طول الأضلاع الجديدة للمثلث المتكون من تلك المنتصفات. في هذه الحالة، طول كل ضلع في المثلث الجديد هو نصف طول الضلع في المثلث الأصلي.

لذا، طول الأضلاع الجديدة هي:
$DE = \frac{a}{2}, \ EF = \frac{b}{2}, \ DF = \frac{c}{2}$

من ثم، نستخدم قاعدة حساب مساحة المثلث، حيث يكون المثلث الجديد لديه قاعدة $DE$ و $EF$ وارتفاع يساوي ارتفاع المثلث الأصلي. لذا، مساحة المثلث الجديد $M$ تكون:

$M = \frac{1}{2} \times DE \times EF \times \text{Height}$

$M = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2} \times \text{Height} = \frac{ab}{8} \times \text{Height}$

أما بالنسبة للمساحة الأصلية $T$، فهي مساحة المثلث الأصلي وتُحسب بنفس الطريقة.

النسبة بين $M$ و $T$ ستكون:
$\frac{M}{T} = \frac{\frac{ab}{8} \times \text{Height}}{\frac{abc}{4} \times \text{Height}}$
$\frac{M}{T} = \frac{ab}{8} \times \frac{4}{abc} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

إذاً، النسبة بين مساحة المثلث الجديد والمثلث الأصلي هي $\frac{1}{4}$.