تمثيل $1.\overline{27}$ ككسر عشري (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
قم بتمثيل $1.\overline{27}$ ككسر عشري مبسط إلى أبسط صورة.

الحل:
لنقم بتمثيل العدد $1.\overline{27}$ ككسر عشري. يمكن كتابته كمجموعة من الأجزاء الصحيحة والعشرية، حيث الجزء الصحيح هو 1 والجزء العشري يتكرر وهو $0.27$.

من هذا نلاحظ أن الجزء العشري $0.27$ يمكن تمثيله ككسر بسيط بناءً على قوانين التكرار في الأعداد العشرية. حيث نعلم أن $0.27$ يتكرر إلى ما لا نهاية، لذا فهو يمكن تمثيله ككسر عشري متكرر.

لنمثل هذا الكسر عشري متكرر كمجموعة $x$:

$x = 0.27\overline{27}$

نضرب كلا الجانبين في 100 للتخلص من النقطة العشرية المتكررة:

$100x = 27.\overline{27}$

الآن، سنقوم بطرح المعادلة الأصلية من المعادلة المضاعفة للحصول على قيمة $99x$:

$99x = 100x – x = 27.\overline{27} – 0.\overline{27} = 27$

وبالتالي، يمكننا حساب قيمة $x$ كالتالي:

$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

إذاً، العدد $1.\overline{27}$ يمكن تمثيله على شكل كسر عشري مبسط بالصورة الأبسط كـ $\frac{3}{11}$.

لحل المسألة وتمثيل العدد $1.\overline{27}$ ككسر عشري مبسط، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الرياضية والخوارزميات لتقديم الحل بطريقة صحيحة ومفهومة. إليك الخطوات والتفاصيل الأكثر تفصيلاً:

1. تمثيل العدد ككسر عشري متكرر:
   نعلم أن العدد $1.\overline{27}$ يتكرر في الجزء العشري، أي أن الرقم 27 يتكرر بلا نهاية. لتمثيل هذا النوع من الأعداد، نقوم بتمثيل الجزء العشري المتكرر بحرف خاصة، مثل الخط العلوي فوق الرقم 27.

2. استخدام قوانين الجمع للأعداد العشرية:
   نقوم بكتابة العدد $1.\overline{27}$ على شكل مجموعة بين الجزء الصحيح والجزء العشري المتكرر. في هذه الحالة، الجزء الصحيح هو 1، والجزء العشري المتكرر هو $0.27\overline{27}$.

3. تحويل الجزء العشري المتكرر إلى كسر عشري:
   يمكننا تمثيل الجزء العشري المتكرر $0.27\overline{27}$ ككسر عشري، حيث يمكننا استخدام عدد الأرقام المتكررة لتقسيمه على عدد يتكرر بنفس العدد من الأصفار.

4. استخدام قوانين الكسور البسيطة:
   نستخدم قوانين الكسور البسيطة لتبسيط الكسر إلى صورته الأبسط، حيث نقوم بقسم البسط والمقام على عامل مشترك بينهما.

5. تحديد العدد المشترك بين البسط والمقام:
   في هذه الحالة، المقام والبسط للجزء العشري هما 99 نظراً لأن هناك تكرارين (27) في الجزء العشري المتكرر.

6. التبسيط إلى الصورة الأبسط:
   بعد تحديد العدد المشترك بين البسط والمقام، نقوم بتقسيم كل من البسط والمقام على هذا العدد للحصول على الكسر المبسط.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، نستطيع تمثيل العدد $1.\overline{27}$ على شكل الكسر العشري المبسط $\frac{3}{11}$.