تمارين واختزال الكسور الجبرية

تمارين على الاختزال في الرياضيات

الاختزال في الرياضيات هو عملية تبسيط العبارات الرياضية أو المعادلات لجعلها أكثر سهولة في التعامل معها. يعتبر الاختزال من المواضيع الأساسية في العديد من فروع الرياضيات، خاصة في الجبر والهندسة، حيث يتم استخدامه لتبسيط الأعداد أو المعادلات أو الكسور لتسهيل حل المسائل. في هذا المقال، سنتناول مفهوم الاختزال، وأدواته، وبعض التمارين التي تركز على هذا الموضوع.

1. مفهوم الاختزال

يُقصد بالاختزال في الرياضيات تقليص العبارات أو المعادلات إلى أبسط صورة ممكنة. وهذا يتضمن تقليص الكسور، وتبسيط المعادلات الجبرية، أو إيجاد العوامل المشتركة في المعادلات. الهدف من الاختزال هو تسهيل العمليات الحسابية وتحقيق حلول أسرع وأكثر دقة.

1.1. الاختزال في الكسور

في حالة الكسور، يتطلب الاختزال قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD) بينهما. عند تنفيذ هذه العملية، نحصل على كسر أبسط يُسهل التعامل معه.

مثال:

اختزل الكسر $\frac{12}{18}$.

لحساب القاسم المشترك الأكبر بين 12 و18، نبحث عن عوامل كلا الرقمين:

• العوامل المشتركة للعدد 12 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12.

• العوامل المشتركة للعدد 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18.
  
  القاسم المشترك الأكبر هو 6.
  
  نقسم كل من البسط والمقام على 6:
  
  $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.

1.2. الاختزال في العبارات الجبرية

في العبارات الجبرية، يتم الاختزال من خلال تبسيط المعادلات باستخدام العوامل المشتركة أو تصغير العبارات الجبرية.

مثال:

اختزل العبارة الجبرية $\frac{2x^2 + 4x}{2x}$.

بداية، نلاحظ أن البسط يحتوي على العامل المشترك 2x، فيمكننا اختزال هذا العامل من البسط والمقام كما يلي:

$\frac{2x^2 + 4x}{2x} = \frac{2x(x + 2)}{2x} = x + 2$.

2. تقنيات الاختزال

2.1. الاختزال باستخدام العوامل المشتركة

من أبرز تقنيات الاختزال هي استخدام العوامل المشتركة بين الأعداد أو العبارات الجبرية. ففي حال كان لدينا عددين أو معادلتين يحتويان على نفس العامل، يمكننا اختزالهما ببساطة.

مثال:

اختزل الكسر $\frac{6x^2 + 12x}{3x}$.

هنا، نلاحظ أن البسط يحتوي على العامل المشترك 6x، فيمكن اختزاله كما يلي:

$\frac{6x^2 + 12x}{3x} = \frac{6x(x + 2)}{3x} = 2(x + 2)$.

2.2. الاختزال في الكسور الجبرية

يتم الاختزال في الكسور الجبرية عند وجود عوامل مشتركة في البسط والمقام. إذا كانت المعادلة تحتوي على عوامل متعددة، فإن الاختزال يمكن أن يتم عن طريق إيجاد العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

مثال:

اختزل الكسر الجبري $\frac{x^2 – 9}{x^2 + 6x + 9}$.

نلاحظ أن البسط هو فرق بين مربعين، وبالتالي يمكن تبسيطه إلى:

$x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$.

أما المقام فيمكن تحليله إلى:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

الآن، يمكننا اختزال العامل المشترك $(x + 3)$ كما يلي:

$\frac{(x – 3)(x + 3)}{(x + 3)(x + 3)} = \frac{x – 3}{x + 3}$.

2.3. الاختزال باستخدام القسمة المتكررة

عند التعامل مع الكسور التي تحتوي على أعداد كبيرة أو معقدة، يمكن استخدام عملية القسمة المتكررة لاختزال الكسر. هذه التقنية تعتمد على قسمة كل من البسط والمقام على نفس العدد حتى يتم الوصول إلى الشكل الأبسط.

مثال:

اختزل الكسر $\frac{45}{60}$.

نقسم كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بين 45 و60، وهو 15:

$\frac{45}{60} = \frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4}$.

3. تمارين على الاختزال

3.1. تمرين 1: اختزل الكسر $\frac{24}{36}$

لحل هذا التمرين، نبحث أولاً عن القاسم المشترك الأكبر بين 24 و36. العوامل المشتركة لهما هي: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24 و 36، والقاسم المشترك الأكبر هو 12.

نقسم كل من البسط والمقام على 12:

$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$.

3.2. تمرين 2: اختزل العبارة الجبرية $\frac{4x^2 + 8x}{2x}$

هنا نلاحظ أن البسط يحتوي على العامل المشترك 4x، وهو نفس العامل المشترك بين البسط والمقام، لذا يمكننا اختزاله كما يلي:

$\frac{4x^2 + 8x}{2x} = \frac{4x(x + 2)}{2x} = 2(x + 2)$.

3.3. تمرين 3: اختزل الكسر الجبري $\frac{x^2 – 4}{x^2 + 2x – 8}$

لنبدأ بتحليل البسط والمقام. نلاحظ أن البسط هو فرق بين مربعين، لذا يمكننا تفكيكه إلى:

$x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$.

أما المقام فيمكن تحليله إلى:

$x^2 + 2x – 8 = (x – 2)(x + 4)$.

الآن، يمكننا اختزال العامل المشترك $(x – 2)$ كما يلي:

$\frac{(x – 2)(x + 2)}{(x – 2)(x + 4)} = \frac{x + 2}{x + 4}$.

4. أهمية الاختزال في الرياضيات

الاختزال هو أداة أساسية في العديد من العمليات الحسابية التي يتم استخدامها في مختلف فروع الرياضيات. من خلال تطبيق تقنيات الاختزال، يمكن تبسيط المعادلات المعقدة وتحويلها إلى صيغ أسهل في التعامل معها. كما أن الاختزال يوفر الوقت في حل المشكلات الرياضية، سواء كانت تتعلق بالكسور، أو المعادلات الجبرية، أو الكسور الجبرية.

علاوة على ذلك، يعد الاختزال مهارة أساسية في التحضير لاختبارات الرياضيات، حيث يساعد الطلاب في تبسيط المسائل المعقدة، مما يجعلها أسهل وأكثر قابلية للفهم.