تكوين 24 عددًا باستخدام أرقام 1، 2، 5، و 7: حلاً لمسألة الجمع (مسألة رياضيات)

الأعداد 1257، 1275، و1527 تمثل ثلاثة من بين 24 عددًا مختلفًا يمكن تكوينها باستخدام كل من الأرقام 1، 2، 5، و 7 بشكل دقيق مرة واحدة في كل عدد. الهدف هو حساب مجموع هذه الأعداد الـ24.

للقيام بذلك، يجب أن نفهم أن لدينا أربعة خيارات للوضع الأول في العدد (1 أو 2 أو 5 أو 7)، وبعد ذلك نأتي بثلاثة خيارات للوضع الثاني، ثم اثنين للوضع الثالث، وأخيرًا خيار واحد للوضع الأخير. وبما أن لدينا أربعة أرقام فقط، فإن العدد الكلي للترتيبات الممكنة هو 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

بعد أن قمنا بحساب جميع الأعداد الممكنة، يتعين علينا القيام بجمعها للحصول على الناتج النهائي. لنبدأ:

1. 1257
2. 1275
3. 1527
4. 1572
5. 1725
6. 1752
7. 2157
8. 2175
9. 2517
10. 2571
11. 2715
12. 2751
13. 5127
14. 5172
15. 5217
16. 5271
17. 5712
18. 5721
19. 7125
20. 7152
21. 7215
22. 7251
23. 7512
24. 7521

الآن نقوم بجمع هذه الأعداد معًا:

$1257 + 1275 + 1527 + 1572 + 1725 + 1752 + 2157 + 2175 + 2517 + 2571 + 2715 + 2751 + 5127 + 5172 + 5217 + 5271 + 5712 + 5721 + 7125 + 7152 + 7215 + 7251 + 7512 + 7521$

بعد إجراء الجمع، نحصل على المجموع النهائي $T$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية تكوين جميع الأعداد المختلفة باستخدام الأرقام 1، 2، 5، و 7. يمكننا استخدام قاعدة العدد المميز لتحديد عدد الطرق التي يمكننا بها وضع الأرقام في العدد.

قاعدة العدد المميز: إذا كان لدينا مجموعة من $n$ عناصر، فإن عدد الطرق لترتيبها يكون $n!$، حيث $n!$ هو عامل التكرار (الضرب التسلسلي) من 1 إلى $n$.

لدينا أربعة أرقام: 1، 2، 5، 7. لتكوين عدد من أربعة أرقام، لدينا:

• 4 خيارات لاختيار الرقم الأول.
• 3 خيارات لاختيار الرقم الثاني (بعد اختيار الرقم الأول).
• 2 خيارات لاختيار الرقم الثالث (بعد اختيار الرقمين الأولين).
• 1 خيار لاختيار الرقم الرابع (بعد اختيار الرقم الثالث).

باستخدام قاعدة العدد المميز، عدد الترتيبات الممكنة هو $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

ثم يتعين علينا جمع جميع الأعداد الممكنة للحصول على الناتج النهائي. القوانين المستخدمة هي:

1. قاعدة العدد المميز: لحساب عدد الترتيبات المختلفة باستخدام مجموعة من العناصر.

الآن، دعونا نقوم بتكرار الأعداد باستخدام الأرقام المعطاة:

1. 1257
2. 1275
3. 1527
4. 1572
5. 1725
6. 1752
7. 2157
8. 2175
9. 2517
10. 2571
11. 2715
12. 2751
13. 5127
14. 5172
15. 5217
16. 5271
17. 5712
18. 5721
19. 7125
20. 7152
21. 7215
22. 7251
23. 7512
24. 7521

أخيرًا، نقوم بجمع جميع هذه الأعداد للحصول على الناتج النهائي $T$.