تقييم تعبير الأسس الخيالية. (مسألة رياضيات)

تقوم المسألة الرياضية بتقييم التعبير $i^6+i^{16}+i^{-26}$، حيث يتمثل $i$ في العدد الخيالي الذي يمثل الجذر التربيعي للوحدة الخيالية. يُعبر $i$ عن العدد الذي يرتبط بالوحدة الخيالية، حيث يتمثل في الجذر التربيعي للعدد -1.

لحساب هذا التعبير، يجب أولاً معرفة القوى التي تتضمن $i$ ومن ثم تقدير قيمتها. نعلم أنه:

• $i^2 = -1$
• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
• $i^6 = i^4 \times i^2 = 1 \times -1 = -1$
• $i^{16} = (i^4)^4 = 1^4 = 1$
• $i^{-26} = \frac{1}{i^{26}} = \frac{1}{(i^4)^6} = \frac{1}{1^6} = 1$

باستخدام هذه المعرفة، يمكننا تقدير قيمة التعبير:

لذا، قيمة التعبير المُعطاة هي 1.

لحل مسألة تقييم التعبير $i^6+i^{16}+i^{-26}$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين الأساسية للقوى في الجبر الخطي.

1. قوة العدد الخيالي $i$:

   • $i^1 = i$
   • $i^2 = -1$
   • $i^3 = -i$
   • $i^4 = 1$
   • بعد ذلك، يتكرر نمط التكرار مرة أخرى بعد كل 4 أسس.

2. القوانين الحسابية للأسس:

   • $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
   • $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
   • $(a^m)^n = a^{mn}$

3. العمليات الحسابية الأساسية:

   • الجمع والطرح.

الآن، سنقوم بحل المسألة:

• أولاً، نستخدم قوة العدد الخيالي $i$ لتقدير الأسس المعطاة.
• ثم، نطبق القوانين الحسابية للأسس لجمع الأعداد.

حسبما تم في الحل السابق:

• $i^6 = (i^4)(i^2) = 1 \times -1 = -1$
• $i^{16} = (i^4)^4 = 1^4 = 1$
• $i^{-26} = \frac{1}{i^{26}} = \frac{1}{(i^4)^6} = \frac{1}{1^6} = 1$

وبمجرد حساب هذه القيم، يمكننا جمعها معًا:
$i^6 + i^{16} + i^{-26} = -1 + 1 + 1 = 1$

وهكذا، يكون الناتج النهائي للتعبير $1$.