تعبير خط بمعاملات فيكتور: حلاقبولية (Acceptable Vector Parametrization) (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة للخط هي $y = 2x + 7$، ونريد تعبيرها بواسطة معاملات فيكتور. لدينا خمس خيارات لتعبير المعادلة بشكل معاملات فيكتور، وسنقوم بفحص كل منها:

(A) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ X \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$

(B) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/2 \ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \ -2 \end{pmatrix}$

(C) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 9 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \ 3 \end{pmatrix}$

(D) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1/2 \ 1 \end{pmatrix}$

(E) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \ -7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1/10 \ 1/5 \end{pmatrix}$

الآن سنقوم بفحص إذا كانت هذه المعاملات تحقق المعادلة الأصلية أم لا. سنستخدم المتغيرات $X$ و $t$:

(A) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ X \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$

من هذه المعادلة، نجد أن $x = 2t$ و $y = t + X$، وإذا قمنا بتعويضهما في المعادلة الأصلية، نحصل على $t + X = 2t + 7$، ومنها نجد أن $X = 7 – t$.

نتابع الفحص للخيارات الباقية:

(B) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/2 \ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \ -2 \end{pmatrix}$

من هذه المعادلة، نجد أن $x = -\frac{1}{2} – t$ و $y = -2t$، وبتعويضهما في المعادلة الأصلية نجد أنها لا تتحقق.

(C) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 9 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \ 3 \end{pmatrix}$

من هذه المعادلة، نجد أن $x = 6t + 1$ و $y = 3t + 9$، وبتعويضهما في المعادلة الأصلية نجد أنها لا تتحقق.

(D) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1/2 \ 1 \end{pmatrix}$

من هذه المعادلة، نجد أن $x = \frac{1}{2} + 2t$ و $y = 1 + t$، وبتعويضهما في المعادلة الأصلية نجد أنها لا تتحقق.

(E) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \ -7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1/10 \ 1/5 \end{pmatrix}$

من هذه المعادلة، نجد أن $x = -7 + \frac{t}{10}$ و $y = -7 + \frac{t}{5}$، وبتعويضهما في المعادلة الأصلية نجد أنها لا تتحقق.

لذا، الإجابة الصحيحة هي (A)، وقيمة المتغير $X$ هي $7 – t$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر والتركيز على القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل. لنبدأ بإعادة صياغة المسألة:

المسألة:
نريد تعبير خط يمثله المعادلة $y = 2x + 7$ باستخدام المعاملات الفيكتورية. لذا، نحتاج إلى إيجاد معاملات فيكتور يمكن أن تمثل هذا الخط.

المعادلة الأصلية:
$y = 2x + 7$

المعادلات البارامترية المقترحة:
(A) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ X \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

للبداية، دعونا نفحص هذه المعاملات. في هذه الحالة، نستخدم متغير البارامتر $t$ لتعبير عن النقط على الخط. النقطة $\begin{pmatrix} 0 \\ X \end{pmatrix}$ تمثل النقطة التي يمر بها الخط عند $t = 0$، و$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ تمثل الاتجاه الذي يتحرك به الخط. بعد ذلك، نقوم بتعويض قيم $x$ و $y$ في المعادلة الأصلية:

$X + t = 2t + 7$

من هنا، نجد أن $X = 7 – t$، وهذا يؤكد أن هذه المعاملات تحقق المعادلة الأصلية.

القوانين المستخدمة:

1. المعادلة الأصلية للخط:
   $y = mx + b$
   حيث $m$ يمثل الميل (slope) و $b$ يمثل قطع الاختصاص (y-intercept).

2. معادلات البارامترية:
   $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
   حيث $\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$ نقطة تمر عبرها المسار عند $t = 0$، و$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ هو الاتجاه الذي يتحرك به المسار.

3. تعويض القيم في المعادلات:
   يتم تعويض قيم المتغيرات في المعادلات للتحقق من الصحة.

4. العمليات الجبرية:
   استخدام العمليات الجبرية الأساسية لحل المعادلات والتحقق من النتائج.

5. التفاضل والتكامل:
   في هذا السياق، لم نحتاج إلى التفاضل أو التكامل، ولكن في الرياضيات الفيكتورية الأعلى المستوى، يمكن استخدام التفاضل والتكامل لحساب المشتقات والتكاملات لتحليل المسارات.

باختصار، تم استخدام قوانين الجبر الخطي والهندسة الرياضية في حل هذه المسألة.