تشكيل فرع فرعي في اللجنة الحكومية (مسألة رياضيات)

إذا كان لدينا لجنة في مجلس الشيوخ تتألف من 8 جمهوريين و 6 ديمقراطيين، ونريد تشكيل فرع فرعي يتألف من 3 جمهوريين و 2 ديمقراطيين، كم طريقة يمكننا من خلالها تشكيل هذا الفرع الفرعي؟

لحساب عدد الطرق الممكنة، نستخدم مفهوم الاختيارات المتسلسلة. في هذه الحالة، نبدأ بحساب عدد الطرق لاختيار 3 جمهوريين من بين 8 جمهوريين. هذا يتم بواسطة الصيغة:

$\text{عدد الاختيارات للجمهوريين} = \binom{8}{3}$

ثم نقوم بحساب عدد الطرق لاختيار 2 ديمقراطيين من بين 6 ديمقراطيين، وهو يحسب بواسطة الصيغة:

$\text{عدد الاختيارات للديمقراطيين} = \binom{6}{2}$

لحساب إجمالي عدد الطرق لتشكيل الفرع الفرعي، نقوم بضرب عدد الاختيارات للجمهوريين في عدد الاختيارات للديمقراطيين:

$\text{إجمالي الاختيارات} = \binom{8}{3} \times \binom{6}{2}$

الآن يمكننا حساب هذه القيم بشكل محدد:

$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56$

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15$

وبالتالي:

$\text{إجمالي الاختيارات} = 56 \times 15 = 840$

إذاً، هناك 840 طريقة ممكنة لتشكيل الفرع الفرعي المطلوب.

بالطبع، سنقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وسنشير إلى القوانين المستخدمة في الحل.

تفاصيل الحل:

1. اختيار الجمهوريين:
   نستخدم الصيغة الرياضية للترتيبات الفرعية ($nCr$) لاختيار 3 جمهوريين من بين 8 جمهوريين. الصيغة هي:

   $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!}$

   حيث $nCr$ هو رمز الترتيبات الفرعية.

2. اختيار الديمقراطيين:
   نستخدم نفس الصيغة لاختيار 2 ديمقراطيين من بين 6 ديمقراطيين:

   $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!}$

3. إجمالي الاختيارات:
   نضرب عدد الاختيارات للجمهوريين في عدد الاختيارات للديمقراطيين للحصول على إجمالي الاختيارات الممكنة:

   $\text{إجمالي الاختيارات} = \binom{8}{3} \times \binom{6}{2}$

القوانين المستخدمة:

1. صيغة الترتيبات الفرعية ($nCr$):
   تستخدم لحساب عدد الطرق لاختيار مجموعة فرعية من عناصر معينة من مجموعة أكبر دون اعتبار الترتيب. في هذه المسألة، استخدمناها لاختيار الجمهوريين والديمقراطيين.

   $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

   حيث $n$ هو إجمالي عدد العناصر، و $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها.

2. قاعدة الضرب:
   استخدمنا قاعدة الضرب لحساب إجمالي الاختيارات، حيث نضرب عدد الاختيارات للجمهوريين في عدد الاختيارات للديمقراطيين.

   $\text{إجمالي الاختيارات} = \binom{8}{3} \times \binom{6}{2}$

باختصار، استخدمنا صيغة الترتيبات الفرعية لاختيار الأعضاء الفردية وقاعدة الضرب لحساب إجمالي الاختيارات الممكنة.