تشابه المثلثات: حساب قيمة x (مسألة رياضيات)

نعطى مثلثًا قائم الزاوية، حيث تكون أضلاعه ١٠ و ٨. هذا المثلث متشابه مع مثلث آخر، حيث تكون الأضلاع المقابلة x و ٥ على التوالي. نريد حساب قيمة x.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خاصية التشابه بين المثلثين. نستخدم نسب الأضلاع المتقابلة في المثلثين لإعداد معادلة. لنعبر عن هذه النسب، نقوم بقسمة طول كل ضلع في المثلث الأول على الضلع المقابل في المثلث الثاني.

نسبة الضلع الأول: $\frac{10}{x}$
نسبة الضلع الثاني: $\frac{8}{5}$

إذاً، نحصل على المعادلة التالية:

$\frac{10}{x} = \frac{8}{5}$

لحل هذه المعادلة للعثور على قيمة x، نقوم بضرب طرفي المعادلة في x وطرفيها في 5 للتخلص من المقام في الكسر:

$5 \times 10 = 8 \times x$

الآن نقوم بحساب الناتج:

$50 = 8x$

ثم نقسم على 8 للعثور على قيمة x:

$x = \frac{50}{8}$

لتبسيط الكسر، يمكننا قسمة البسط والمقام على 2:

$x = \frac{25}{4}$

الآن، نحصل على قيمة x بشكل كسري. ولكن السؤال يطلب الإجابة بالعشرية إلى أقرب مئوية، لذا نقوم بتقريب الكسر إلى العشرية:

$x \approx 6.25$

إذاً، قيمة x هي تقريبًا 6.25.

لنحل المسألة، سنستخدم قوانين التشابه في المثلثات. التشابه هي خاصية هندسية تقول إنه إذا كانت زوايا في مثلثين متشابهين متساوية، فإن نسب الأضلاع المتقابلة في هذين المثلثين ستكون متساوية أيضًا.

لنستخدم هذه القاعدة في المسألة:

نعلم أن المثلثين متشابهين، وبناءً على هذا، يمكننا كتابة نسبة الضلع في المثلث الأول إلى الضلع في المثلث الثاني:

$\frac{الضلع_الأول_في_المثلث_الأول}{الضلع_الأول_في_المثلث_الثاني} = \frac{الضلع_الثاني_في_المثلث_الأول}{الضلع_الثاني_في_المثلث_الثاني} = \frac{الضلع_الثالث_في_المثلث_الأول}{الضلع_الثالث_في_المثلث_الثاني}$

نستخدم هذه النسب لحساب قيمة x:

$\frac{10}{x} = \frac{8}{5}$

لتخلص من المقام في الكسر، نقوم بضرب طرفي المعادلة في $x \times 5$:

$5 \times 10 = 8 \times x$

نحصل على:

$50 = 8x$

ثم نقسم على 8 للعثور على قيمة x:

$x = \frac{50}{8}$

نقوم بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 2:

$x = \frac{25}{4}$

لكن السؤال يطلب الإجابة بالعشرية إلى أقرب مئوية، لذا نقوم بتقريب الكسر إلى العشرية:

$x \approx 6.25$

قوانين التشابه والنسب في المثلثات هي القوانين الرئيسية المستخدمة في هذا الحل.