تسارع تضاعف الجيروسكوب: حل وافي (مسألة رياضيات)

تعتمد سرعة دوران جيروسكوب معين على معدل زيادة السرعة، حيث تتضاعف السرعة كل 15 ثانية. بعد مضي دقيقة ونصف (أو 90 ثانية)، وصلت السرعة إلى 400 متر في الثانية. نريد حساب السرعة عند بداية تشغيل ساعة التوقيت.

للقيام بذلك، يمكننا تقسيم المدة الكلية إلى فترات 15 ثانية لفهم كم مرة تم زيادة السرعة. في هذه الحالة، هناك 6 فترات من 15 ثانية في دقيقة ونصف. لذلك، يتم زيادة السرعة مرتين في كل فترة، وهو ما يعني أننا سنقوم برفع الرقم 2 إلى قوة عدد الفترات.

لحساب السرعة الأولى عند بداية التوقيت، نقوم بضرب السرعة النهائية في 2 مرات (لأن السرعة تتضاعف في كل فترة) وذلك لعدد الفترات. بمعنى آخر، السرعة الأولى = السرعة النهائية ÷ (2^(عدد الفترات)).

قم بحسابها:
السرعة الأولى = 400 ÷ (2^6) = 400 ÷ 64 = 6.25 متر في الثانية.

إذاً، كانت السرعة عند بداية التوقيت تساوي 6.25 متر في الثانية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم تضاعف السرعة بناءً على الزمن، ونحن بحاجة إلى استخدام القوانين المتعلقة بالحركة الزمنية والتسارع.

لنحسب السرعة الأولية، يمكننا استخدام العلاقة بين السرعة النهائية والسرعة الأولية عند استخدام التسارع الثابت والزمن. العلاقة هي:

$v_f = v_i + at$

حيث:

• $v_f$ هو السرعة النهائية (400 متر/ثانية).
• $v_i$ هو السرعة الأولية (التي نريد حسابها).
• $a$ هو التسارع.
• $t$ هو الزمن.

من المعلوم أن السرعة تتضاعف كل 15 ثانية، ولذلك يمكننا استخدام العلاقة التالية:

$v_f = v_i \times 2^n$

حيث:

• $n$ هو عدد مرات التضاعف، وفي هذه الحالة هو عدد الفترات التي مرت (90 ثانية ÷ 15 ثانية = 6 فترات).

لحساب التسارع، يمكننا استخدام العلاقة:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

حيث:

• $\Delta v$ هو التغير في السرعة (الفرق بين السرعة النهائية والسرعة الأولية).
• $\Delta t$ هو التغير في الزمن (الفرق بين الزمن النهائي والزمن الأولي).

الآن، لنحسب الحل:

1. حساب التسارع:
   $a = \frac{400 \, \text{م/ث} – v_i}{90 \, \text{ث}}$

2. حساب السرعة الأولية باستخدام العلاقة الثانية:
   $v_f = v_i \times 2^n$

3. حساب السرعة الأولية باستخدام العلاقة الأولى:
   $v_f = v_i + at$

بعد حساب القيم، نجد أن السرعة الأولية $v_i$ هي 6.25 متر/ثانية. استخدمنا العلاقات الرياضية المعتادة للحركة الزمنية والتسارع للوصول إلى هذا الحل.